ヘルツ接触理論（球−平面） — 理論と支配方程式

2つの弾性体の接触で、接触半径、最大面圧、接触変位の全てに閉形式の解析解が存在するからだ。1882年にHertzが導出した。球と平面の接触が最も基本的で、非線形接触解析のCode Verificationの入り口になる。

Hertz理論の巧妙さはそこにある。接触面積が荷重とともに変化する幾何学的非線形を含むが、弾性半空間のBoussinesq解の重ね合わせと幾何学的適合条件を連立することで閉形式が得られる。ただし前提条件がある。接触面が平面にくらべて十分小さいこと、弾性限度内であること、摩擦がないことだ。

半径 $R$ の弾性球が弾性平面に荷重 $P$ で押し付けられる場合。等価弾性係数 $E^ = [(1-\nu_1^2)/E_1 + (1-\nu_2^2)/E_2]^{-1}$、等価半径 $R^ = R$（平面は $R_2 = \infty$）として

接触半径: $a = \left(\frac{3PR^}{4E^}\right)^{1/3}$

最大面圧: $p_0 = \frac{2aE^}{\pi R^} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{6PE^{2}}{R^{2}}\right)^{1/3}$

近づき量: $\delta = \frac{a^2}{R^} = \left(\frac{9P^2}{16R^E^{*2}}\right)^{1/3}$

接触面内の面圧は半楕円分布だ。

中心で最大 $p_0$、接触縁 $r = a$ でゼロ。この分布はBoussinesq解の重ね合わせで再現でき、接触面下の応力場も厳密に計算できる。最大von Mises応力は表面直下 $z \approx 0.48a$ で生じ、転がり疲労の起点になる。

鋼球（$R = 10$ mm、$E = 200$ GPa、$\nu = 0.3$）vs 鋼平面（同材料）。$P = 100$ N。

$E^* = 200/(2 \times (1-0.09)) = 109.9$ GPa

$a = (3 \times 100 \times 0.01 / (4 \times 109.9 \times 10^9))^{1/3} = 0.0727$ mm

$p_0 = 3P/(2\pi a^2) = 9013$ MPa

$\delta = a^2/R = 0.000529$ mm

接触面内に20要素以上を配置した結果だ。接触半径 $a$ が微小だから、接触部の要素サイズは $a/10 \approx 7$ μm にする必要がある。遠方は粗くできるからバイアスメッシュが必須だ。