データ同化手法 — 理論と支配方程式

まさにその通り。データ同化とは、シミュレーション予測と観測データを統計的に最適融合し、状態推定の精度を向上させる手法だ。天気予報では大気モデルと観測点データを融合して予報精度を上げているが、CAEでもセンサデータとFEMシミュレーションを組み合わせて、構造物の現在の状態をリアルタイムに推定できる。

センサは配置した場所の情報しか得られない。橋梁に10個のひずみゲージを貼っても、数万点の節点情報は得られないだろう。データ同化を使えば、限られたセンサ情報をシミュレーションモデルで空間的に補間・外挿して、構造全体の状態を推定できるんだ。

カルマンフィルタの枠組みで説明しよう。状態ベクトル $\mathbf{x}$ の予測値（シミュレーション）と観測値を融合して、解析値（最適推定値）を得る。

ここで $\mathbf{x}^f$ は予報値、$\mathbf{y}^o$ は観測値、$\mathbf{H}$ は状態空間から観測空間への変換演算子だ。カルマンゲイン $\mathbf{K}$ が予測と観測の重み配分を決める。

$\mathbf{P}^f$ は予測の誤差共分散行列（シミュレーションの不確かさ）、$\mathbf{R}$ は観測の誤差共分散行列（センサの不確かさ）だ。シミュレーションが信頼できるならカルマンゲインは小さくなり観測補正が弱くなる。逆にセンサの精度が高ければ観測側を重視する。この自動的な重み調整がデータ同化の本質だ。

大きく分けて2つの流派がある。

• 逐次法: アンサンブルカルマンフィルタ(EnKF)。予測の不確かさをモンテカルロ的にアンサンブルメンバーで表現する。非線形問題に対応できるが、アンサンブルサイズが小さいとサンプリング誤差が問題になる
• 変分法: 3D-Var/4D-Var。コスト関数 $J(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}-\mathbf{x}^f)^T\mathbf{B}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^f) + (\mathbf{y}^o-\mathbf{H}\mathbf{x})^T\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}\mathbf{x})$ を最小化する。4D-Varは時間方向も考慮する

構造ヘルスモニタリングではEnKFが多い。FEMソルバーを$N$回（アンサンブルサイズ分）走らせて予測のばらつきを推定し、実測値で修正する。FEMが重い場合は縮約基底モデル(ROM)と組み合わせて計算コストを下げる工夫が必要だ。