ブシネスク問題（半無限弾性体の点荷重） — 発展的話題

Burmister（1945）が二層弾性体の解を導出している。Hankel変換を含む積分形式で、数値積分が必要だが閉じた形の参照解として使える。舗装設計（上層がアスファルト、下層が路盤）のFEA検証に使う。

N層の一般解はTransfer Matrix法で系統的に構成でき、ELSYM5やKENLAYERなどの専用プログラムで計算可能だ。これをFEAの参照値として使い、層界面の処理（共有節点 vs. TIE制約）の精度を検証する。

完全接着条件なら共有節点で十分だが、すべり界面を考慮する場合は接触条件が必要になる。完全接着の検証ではBurmister解が参照になり、すべり界面の検証では別の解析解（層間摩擦なしのBurmister解）が必要だ。段階的に検証することが重要だ。

Lambの問題（1904）がそれに相当する。半無限体表面にステップ荷重を加えたときの過渡的弾性波伝播を扱い、P波・S波・Rayleigh波の到達時刻と振幅の理論解がある。

陽解法ソルバー（LS-DYNA、Abaqus/Explicit、OpenRadioss）の検証に最適だ。CFL条件 $\Delta t \leq h_{elem} / V_p$（$V_p$はP波速度）に基づく時間刻みとメッシュサイズの関係が適切かを、波面到達時刻の精度で確認する。

最短波長あたりのノード数が鍵だ。二次要素で1波長あたり5〜6要素、線形要素で10〜12要素が目安。S波の波長 $\lambda_s = V_s / f$ から必要な要素サイズが決まる。数値的な分散（周波数依存の位相速度ずれ）が許容範囲内かを確認するため、異なるメッシュ密度で波形を比較する必要がある。

弾塑性では厳密解が存在しないから、Boussinesqの弾性解をヤング率に関するパラメトリックスタディの基準として使う。荷重レベルが低い段階では弾性解に一致し、荷重増大に伴って弾塑性解が弾性解から乖離する。その乖離パターンが物理的に合理的か（圧縮降伏→塑性域拡大→支持力限界）を確認する。

Terzaghiの極限支持力理論 $q_u = cN_c + \gamma D_f N_q + 0.5\gamma B N_\gamma$ が弾塑性FEAの別の参照になる。FEA結果と支持力理論の整合性を確認することで、Validationの信頼性を高められる。

まさにそうだ。単純な問題で基盤の信頼性を確立し、段階的に複雑化していく。Boussinesq → Hertz接触 → 多層地盤 → 弾塑性 → 動的問題という系統的なV&Vピラミッドの底辺にBoussinesqがある。この系統的アプローチこそがASME V&V 10とNAFEMS QSSが推奨する方法論だ。