古典積層理論（CLT） — 理論と支配方程式

CLTは繊維強化複合材（FRP）の積層板の力学を記述する基礎理論だ。キルヒホッフ板理論を異方性積層板に拡張したもので、各層の材料特性と繊維角から積層板全体の剛性を計算する。

等方性板では曲げ剛性 $D = Et^3/12(1-\nu^2)$ の1つのパラメータで全て決まる。CLTではABD行列と呼ばれる6×6のマトリクスが必要。膜剛性、曲げ剛性、膜-曲げ連成を全て含む。

CLTの中心概念であるABD行列：

ここで：

• $\{N\}$ — 膜力合力（$N_x, N_y, N_{xy}$）
• $\{M\}$ — 曲げモーメント合力（$M_x, M_y, M_{xy}$）
• $\{\varepsilon^0\}$ — 中立面のひずみ
• $\{\kappa\}$ — 曲率

• $[A]$ — 膜剛性マトリクス — 面内の引張・圧縮・せん断に対する剛性
• $[B]$ — 膜-曲げ連成マトリクス — 面内力が曲げを誘発し、曲げが面内変形を誘発
• $[D]$ — 曲げ剛性マトリクス — 純粋な曲げに対する剛性

その通り。等方性板や対称積層（例: $[0/90]_s$）では $[B] = 0$。非対称積層では $[B] \neq 0$ で、引張をかけると板が反るという不思議な挙動が起きる。

各マトリクスの計算式：

ここで $\bar{Q}_{ij}^{(k)}$ は第 $k$ 層の変換剛性マトリクス（繊維角を考慮）、$z_k$ は層の位置。

そう。CLTは「各層の材料特性＋繊維角＋積層順序」から「積層板の巨視的剛性」を導出する理論だ。FEMのシェル要素で複合材を扱う場合、内部ではCLTが使われている。

繊維角を下から順に記述する：

• $[0/90/\pm 45]_s$ = $[0/90/+45/-45/-45/+45/90/0]$
• $s$ は対称（symmetric）を意味。中立面で折り返す
• 対称積層なら $[B] = 0$（膜-曲げ連成なし）

基本的にはそう。非対称積層は成形後に反り（curing warpage）が発生するため、製造上も問題がある。航空機の構造は原則として対称積層だ。

要点：

• ABD行列が積層板の剛性を記述 — $[A]$: 膜、$[B]$: 連成、$[D]$: 曲げ
• 各層の $\bar{Q}$ と位置 $z_k$ からABD行列を計算 — 層の材料特性と繊維角が入力
• $[B] = 0$ なら膜-曲げ連成なし — 対称積層で達成
• 対称積層が設計の基本 — 反りを防止
• FEMの複合材シェル要素は内部でCLTを使用 — CLTはFEMの基盤理論

まさにそう。CLTは複合材設計の「アルファベット」だ。これなしに複合材のFEM解析を語ることはできない。