連続の式（質量保存） — 先端技術と研究動向

質量保存は不変だが、その数値的な実現方法は今も進化し続けている。

非圧縮流れに人工的な圧縮性を導入し、圧力波を伝播させて定常解を求める手法だ。

ここで $\tau$ は疑似時間、$\beta$ は人工音速。圧力のポアソン方程式を解く必要がなく、GPUとの親和性が高い。ただし非定常計算では二重時間積分（dual time stepping）が必要になる。

LBMは分子の速度分布関数を格子上で衝突・輸送する手法だ。Chapman-Enskog展開により、マクロな連続の式とNS方程式を漸近的に再現する。

質量保存は分布関数の総和が保存されることで自動的に満たされる。PowerFLOWやProLBはこの手法を商用化している。

高精度な非圧縮ソルバーでは、Helmholtz-Hodge分解に基づく射影法が使われる。

ここで $\nabla\cdot\mathbf{u}^{n+1} = 0$ の条件から圧力ポアソン方程式が導かれる。

このポアソン方程式の高速解法（FFT、マルチグリッド、AMG等）がCFDの計算効率を左右する。

Level Set法は界面の追跡精度は高いが質量保存性に欠ける。CLSVOF（Coupled Level Set + VOF）やMOF（Moment of Fluid）法は、VOFの質量保存性とLevel Setの幾何精度を組み合わせた手法だ。