地震応答スペクトル解析 — 理論と支配方程式

時刻歴解析は応答の「全時間履歴」を計算するが、応答スペクトル法は各モードの最大応答のみを求め、それを統計的に合成する。計算が桁違いに速い。

応答スペクトル $S_a(T, \zeta)$は「固有周期 $T$、減衰比 $\zeta$ の1自由度系が地震波入力を受けたときの最大加速度応答」：

設計用応答スペクトルは設計コードで規定されている。建築基準法の $S_a$、ユーロコード8の弾性応答スペクトル、ASCE 7のMCERスペクトル等。

手順：

1. 固有値解析 — $N$ 個のモード（振動数、モード形状、有効質量）

2. 各モードの最大応答 — 応答スペクトルからモード $i$ の最大加速度 $S_{a,i}$ を読み取る

3. 各モードの最大変位 — $u_{max,i} = \Gamma_i S_{d,i} \{\phi_i\}$

4. モード応答の合成 — SRSS or CQCで合成

まさに。SRSS（二乗和平方根）は非相関のモードの合成、CQC（完全二次合成）は相関のあるモードの合成。

$\rho_{ij}$ はモード相関係数（Der Kiureghian, 1981）。

現在の設計コード（ユーロコード8、ASCE 7）はCQCを推奨。SRSSは密集モードで非保守的になることがある。

要点：

• 応答スペクトル = 各周期の最大応答のグラフ — 設計コードで規定
• モード重畳法（RSA） — 固有値解析→スペクトル読み取り→合成
• SRSS（非相関）, CQC（相関あり） — CQCが現在の推奨
• 時刻歴解析より桁違いに速い — 設計実務の主力
• 有効質量90%カバーのモード数 — 建築基準法/ユーロコード8の要件