標準k-εモデル — 数値解法と実装

CFDでは有限体積法（FVM）が標準だ。$k$ と $\varepsilon$ の輸送方程式をセル体積で積分し、Gaussの発散定理でフェイス上のフラックスに変換する。一般的な離散化スキームの選択はこうなる。

1次風上は数値拡散が大きく、乱流場の予測精度が著しく低下する。特に剥離領域やせん断層で問題になる。ただし収束が難しい場合に初期数イテレーションだけ1次風上で回してから2次に切り替える手法は実務でよく使う。

SIMPLE、SIMPLEC、PISO等の圧力ベースソルバーでは、1反復の中で以下の順序で解く。

1. 運動量方程式を解く（速度場の仮更新）

2. 圧力補正方程式を解く

3. 速度・圧力を補正

4. $k$ 方程式を解く

5. $\varepsilon$ 方程式を解く

6. $\mu_t$ を更新

7. 収束判定 → 未収束なら1へ戻る

$k$ と $\varepsilon$ は分離解法（segregated）で順に解くのが標準だ。密度ベースソルバー（coupled）では全変数を同時に解くこともある。

非常に重要だ。標準k-εモデルでの推奨Under-Relaxation Factor（URF）はこんな感じだ。

収束が極端に遅くなる。また $\mu_t$ の更新が遅れるので、速度場との整合がとれず振動することがある。どうしても発散する場合は $\varepsilon$ のURFだけ0.5程度に下げるのが一つの手だ。

乱流強度 $I$ と乱流長さスケール $l$ （または水力直径 $D_H$）から算出するのが一般的だ。

配管内部流れなら乱流強度 $I = 5\%$ 程度が目安。外部流れのファーフィールドでは $I = 0.1\sim1\%$ と小さめにとる。乱流粘性比 $\mu_t/\mu$ を直接指定する方法もある（一般的に1〜10）。