ティモシェンコ梁理論 — 数値解法と実装

2節点のティモシェンコ梁要素で、曲げ自由度のみ（$w_1, \theta_1, w_2, \theta_2$）の場合：

ここで $\Phi = 12EI/(GA_s L^2)$ がせん断変形パラメータ。

完璧な確認だ。$\Phi$ はEB梁からの補正量と考えてよい。$\Phi$ が大きい（太短い梁）ほどせん断変形の影響が大きく、EB梁との差が出る。

2節点の線形補間要素で純粋曲げ（$M$ = 一定）を表現する場合を考えよう。曲げモーメントが一定なら $\theta$ = 一定（$d\theta/dx = M/(EI)$）であるべきだが、$w$ の線形補間では $dw/dx$ も一定。すると $\gamma = dw/dx - \theta = \text{一定} \neq 0$。

そう。このせん断ひずみのエネルギーが余分に蓄えられるため、変形が過小評価される（硬すぎる応答）。

低減積分（1点Gauss）で解決する理由：$\gamma$ を要素中心（$x = L/2$）でのみ評価すると、線形のせん断ひずみの平均値がゼロになる。つまり寄生せん断が消える。

AbaqusのB21/B31は低減積分を内部的に使っており、せん断ロッキングは自動的に回避される。Nastranの CBEAM も同様の対策がされている。ユーザーが意識する必要は通常ない。

• Abaqus — *BEAM SECTION で断面形状を指定すれば自動計算。GENERAL SECTION では手動入力
• Nastran — PBEAM/PBAR カードの K1, K2 フィールドで指定。デフォルトは1.0（補正なし）
• Ansys — SECTYPE/SECDATA で断面形状を指定すれば自動計算

$\kappa = 1.0$ はせん断面積 = 全断面積を意味し、せん断剛性を過大評価する。I形断面で $\kappa = 1.0$ のままにすると、せん断たわみが過小になる。PBEAM カードの K1, K2 を正しく設定すること。NastranのPBEAML（断面形状自動計算）を使えばこの問題は回避できる。

シェル要素でH形鋼をモデル化すれば、断面のせん断応力分布は自動的に正確に出る。$\kappa$ の設定は不要。ただしDOF数は梁要素の10〜100倍になる。

使い分け：

• 全体の力の流れを把握 → 梁要素（効率的）
• 断面内の詳細応力 → シェル要素（正確）
• せん断変形が支配的（$L/h < 5$） → シェルかソリッド（$\kappa$ の不確かさを排除）

要点：

• $\Phi = 12EI/(GA_s L^2)$ がせん断変形パラメータ — $\Phi \to 0$ でEB梁に一致
• せん断ロッキング — 低減積分で回避。主要ソルバーは対策済み
• せん断補正係数 $\kappa$ — 断面形状で決まる。NastranのCBEAMはデフォルト1.0に注意
• 断面形状自動計算を推奨 — PBEAML(Nastran), *BEAM SECTION(Abaqus), SECTYPE(Ansys)
• $L/h < 5$ ではシェルかソリッドも検討 — $\kappa$ の不確かさを排除