片持ち梁の曲げ（集中荷重） — 理論と支配方程式

片持ち梁の曲げは、FEA検証の出発点として業界で広く利用されているベンチマーク問題だ。先端たわみ $\delta = PL^3/(3EI)$、固定端最大応力 $\sigma_{max} = PLc/I$ という厳密解が存在するから、数値解法の実装精度を定量的にチェックできる。NAFEMSの入門ベンチマーク集にもこの問題が収録されている。

まさにその通り。ASME V&V 10-2006では、解析コードの数学的正確性を確認する段階としてCode Verificationを位置づけている。厳密解を持つ問題で数値解との一致を示すことが第一歩だ。片持ち梁はその入り口として最適で、Euler-Bernoulli梁理論の仮定が成り立つ範囲なら1次元梁要素で厳密一致する。

Euler-Bernoulli梁理論に基づくたわみ曲線は次の通りだ。

ここで $P$ は先端荷重、$L$ は梁長さ、$E$ はヤング率、$I$ は断面二次モーメントだ。固定端 $x=0$ で $w=0$, $w'=0$、自由端 $x=L$ でモーメントとせん断力がゼロという境界条件から一意に決まる。

曲げモーメントは固定端で最大 $M_{max} = PL$ だから、最大曲げ応力は固定端の最外縁で生じる。

$c$ は中立軸から最外縁までの距離、$Z$ は断面係数だ。矩形断面なら $I = bh^3/12$、$c = h/2$ となる。

Timoshenko梁ではせん断変形を考慮する。せん断変形によるたわみ増分 $\delta_s = \kappa PL/(GA)$ が加わる。$\kappa$ はせん断補正係数（矩形断面で $5/6$ ）だ。スパン/せい比 $L/h$ が10以上ならせん断変形の寄与は1%未満になるから、Euler-Bernoulli理論で十分だ。$L/h < 5$ の深梁ではTimoshenkoか3Dソリッド要素が必須になる。

標準設定は $L = 1$ m、$b = 0.1$ m、$h = 0.05$ m、$P = 1000$ N、$E = 200$ GPa、$\nu = 0.3$ だ。このとき理論値は $\delta_{tip} = 0.160$ mm、$\sigma_{max} = 240$ MPa になる。

HEX8は完全積分だとせん断ロッキングが発生し、梁が実際より硬く振る舞う。曲げ支配の問題では低次六面体は本質的に不利で、低減積分やB-bar法を使わない限り収束が遅い。二次要素は中間節点が曲げの変形モードを正確に表現できるから、粗いメッシュでも高精度だ。

ある。FEMの誤差評価定理（Céaの定理から導かれるアプリオリ誤差評価）によれば、$p$ 次要素でエネルギーノルム誤差は $O(h^p)$ で減少する。つまり線形要素なら要素サイズを半分にすると誤差は約半分、二次要素なら約1/4になる。この理論的収束率が実際のメッシュ収束で再現できるかどうかがCode Verificationの本質だ。

典型的なのは応力特異点がある場合だ。片持ち梁の固定端は実際には応力特異点ではないが、固定拘束の実装方法によっては局所的に応力集中が生じて収束率が落ちることがある。対処法としてはSaint-Venantの原理を意識して、拘束端から十分離れた位置で評価するか、分布拘束を使うことだ。