複素固有値解析 — 理論と支配方程式

通常の固有振動数解析（実固有値解析）は非減衰の自由振動を扱う。固有値は実数（$\omega^2$）で、固有振動数とモード形状が得られる。

複素固有値解析は減衰を含む自由振動を扱う。固有値が複素数（$\lambda = \sigma + i\omega_d$）になり、実部 $\sigma$ が減衰（安定性）、虚部 $\omega_d$ が減衰付き振動数を表す。

減衰付きの固有値問題：

$\lambda$ と $\{\phi\}$ が複素数になる。

$\lambda = \sigma + i\omega_d$ で：

• $\omega_d$ = 減衰付き振動数（実固有振動数 $\omega_n$ より少し低い）
• $\sigma$ = 減衰率。$\sigma < 0$ で安定（振動が減衰）、$\sigma > 0$ で不安定（振動が増大）
• $\zeta = -\sigma / \sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2}$ = 減衰比

ブレーキパッドとディスクの摩擦で剛性マトリクスが非対称になる。非対称剛性は系を不安定にし、$\sigma > 0$ の固有値（自励振動モード）が出現する。このモードがブレーキの鳴きの原因。自動車のNVH開発で最も重要な解析の一つだ。

設定は通常の固有値解析と似ているが、減衰マトリクス $[C]$ の定義が必須。減衰がないと実固有値解析と同じ結果になる。

要点：

• 減衰を含む固有値問題 — 固有値が複素数 $\lambda = \sigma + i\omega_d$
• $\sigma > 0$ で不安定（自励振動） — ブレーキ鳴き、フラッターの検出
• 非比例減衰・非対称剛性に対応 — 実固有値解析では扱えない
• SOL 107（Nastran）, *COMPLEX FREQUENCY（Abaqus）
• ブレーキNVHと航空宇宙のフラッターが主な適用

まさにそう。複素固有値解析は安定性解析であり、実固有値解析の拡張だ。