Lanczos法による固有値解析 — 理論と支配方程式
Lanczos法とは
先生、Lanczos法は固有値問題を解くアルゴリズムですよね。なぜこれが標準なんですか？
Lanczos法は大規模疎行列の固有値問題に最も効率的なアルゴリズムだ。FEMの剛性マトリクスと質量マトリクスは疎行列（非ゼロ成分が少ない）であり、Lanczos法の得意分野そのものだ。
アルゴリズムの原理
Lanczos法の基本アイデア：
1. 初期ベクトル $\{q_1\}$ を選ぶ（ランダムでも可）
2. 行列ベクトル積 $[K]^{-1}[M]\{q_j\}$ を繰り返し計算（Krylov部分空間の構築）
3. 各ステップでGram-Schmidt直交化を行い、三重対角行列 $[T]$ を構築
4. $[T]$ の固有値が元の問題の固有値の近似
5. 収束するまで反復
巨大な $[K]$ の固有値を、小さな三重対角行列 $[T]$ の固有値で近似するんですね。
まさにそう。$n \times n$ の行列（$n$ = 数百万）を $m \times m$ の三重対角行列（$m$ = 数十〜数百）に縮約する。$m$ ステップのLanczos反復で下位 $m$ 個の固有値が近似される。
計算コスト
Lanczos法の主なコスト：
| ステップ | 計算量 | 備考 |
|---|---|---|
| $[K]$ のLDLT分解 | $O(n \cdot bw^2)$ | $bw$ = バンド幅。最も重い |
| 前進後退代入 | $O(n \cdot bw)$ | 各Lanczos反復で1回 |
| 直交化 | $O(n \cdot m)$ | $m$ = Lanczosステップ数 |
| $[T]$ の固有値 | $O(m^2)$ | 小さい行列。無視できる |
$[K]$ のLDLT分解が最も重い。これは静解析のソルバーと同じですよね。
その通り。Lanczos法のコストの大部分は$[K]$ の分解であり、これは1回だけ。その後のLanczos反復（前進後退代入）は分解に比べて軽い。だから固有値解析のコストは静解析の1.5〜3倍程度。
収束特性
Lanczos法は何ステップで収束しますか？
下位の固有値ほど速く収束する。$m$ ステップのLanczos反復で：
- 最小固有値: 数ステップで収束
- $k$ 番目の固有値: 約 $k + \alpha$ ステップ（$\alpha$ は余裕分）
NastranのEIGRLでは「求めるモード数の2倍のLanczosベクトル」がデフォルト。
シフト-反転法
特定の振動数範囲のモードだけ求めたい場合は？
シフト-反転Lanczos法を使う。注目する振動数 $\sigma$ 付近のモードを重点的に求める：
シフト $\sigma$ に近い固有値が最も速く収束する。
高い振動数のモードだけ求めたいときに便利ですね。
NastranのEIGRLのV1, V2パラメータで振動数範囲を指定。AbaqusのFREQUENCY, SHIFTでシフト値を指定。中間の振動数帯のモードを効率的に抽出できる。
まとめ
Lanczos法の理論を整理します。
要点：
- 大規模疎行列の固有値問題に最適 — FEMの標準ソルバー
- Krylov部分空間→三重対角行列→固有値 — 縮約のアイデア
- コストは $[K]$ の分解が支配 — 静解析の1.5〜3倍
- 下位の固有値が最速で収束 — 低次モードに有利
- シフト-反転法で特定振動数帯を探索 — 高次モードの抽出
Lanczos法を「ブラックボックス」として使うだけでなく、中身を理解すると設定の意味がわかりますね。
「なぜLanczosベクトルの数がモード数の2倍必要か」「なぜシフトが有効か」…これらはアルゴリズムを理解していないとわからない。ブラックボックスを開けて中を見ることが、FEMの上達への近道だ。
タイタニック号と安全率の教訓
「不沈」と謳われたタイタニック号は、低温でのリベット材の脆性破壊が沈没の一因とされています。現代の破壊力学CAEでは、温度依存の材料特性と応力拡大係数を計算して「その温度で本当に大丈夫か？」を事前に検証できます。技術の進歩は、過去の悲劇から学んだ結果です。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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