混合対流（強制＋自然） — 数値解法と実装

混合対流（強制＋自然）に対する数値解法の実装詳細を述べる。

Galerkin有限要素法を適用し、弱形式に基づく離散化を行う。

形状関数 $N_i$ を用いて未知量を近似:

式にするとこう。一つずつ見ていこう。

要素剛性マトリクスは数値積分（Gauss求積法）により計算:

これを数式で表すとこうなるよ。

これを数式で表すとこうなるよ。

連続体の支配方程式を離散化すると、以下の代数方程式系が得られる:

数学的に書くと、こんな形になるんだ。

ここで $[K]$ は全体剛性マトリクス（または同等のシステムマトリクス）、$\{u\}$ は未知節点変数ベクトル、$\{F\}$ は外力ベクトルなんだ。

• 完全積分: 全ての項を正確に積分。剛性過大評価の傾向（ロッキング）
• 低減積分: 積分点数を削減。計算効率向上だが、アワーグラスモード発生のリスク
• 選択的低減積分 (B-bar法): 体積項と偏差項を分離して積分。ロッキング回避

• h-refinement: メッシュを細分化（要素サイズ h を小さく）して精度向上
• p-refinement: 要素の多項式次数を上げて精度向上
• hp-refinement: h と p を同時に最適化

収束速度: 二次要素で $O(h^2)$ のオーダーで誤差が減少（滑らかな解の場合）

各ソルバーは独自の要素ライブラリと解法アルゴリズムを持つ。ソルバー移行時には、要素定式化の差異（特に接触、非線形材料）に注意が必要になるんだ。

うん、いい調子だよ！ 実際に手を動かしてみることが一番の勉強だからね。分からないことがあったらいつでも聞いてくれ。