片持ち梁の曲げ（集中荷重） — 数値解法と実装

目的によって使い分ける。梁要素ならEuler-Bernoulli理論を直接離散化するから最小の自由度で厳密解に到達する。検証目的でシェルやソリッドを使う場合は、Galerkin法による弱形式の離散化が基本だ。

要素剛性マトリクスは数値積分で計算する。

$B$ は歪み-変位マトリクス、$D$ は材料剛性マトリクス、$J$ はヤコビアンだ。

その通り。片持ち梁程度の規模なら直接法（Cholesky分解）で問題ない。DOFが数万を超えたら前処理付きCG法の方がメモリ効率が良い。この問題の本質は解法ではなく要素定式化の精度確認だから、ソルバー選択よりも要素タイプとメッシュ密度に集中すべきだ。

NastranならCBEAM要素で $w_{tip}$ が厳密一致する。Abaqusだと B31（Timoshenko梁）で同様。ソリッド検証をする場合、AbaqusのC3D20R（二次六面体・低減積分）が鉄板だ。NastranならCHEXA（20節点）。

完全積分のHEX8（2×2×2 Gauss点）は曲げ問題でロッキングする。低減積分（1×1×1）にするとロッキングは解消するが、ゼロエネルギーモード（アワーグラスモード）のリスクがある。B-bar法やEAS（Enhanced Assumed Strain）法はロッキングを回避しつつアワーグラスも抑制する。Abaqusの C3D8I（非適合モード）もこの問題に有効だ。

3水準以上のメッシュで計算し、Richardson外挿で漸近解を推定する。メッシュ比 $r$、2つの解 $f_h$ と $f_{rh}$ から

観測収束次数 $p$ は3水準のメッシュ結果から求める。

Grid Convergence Index は Roache が提案した指標で、ASME V&V 20でも採用されている。

$F_s = 1.25$（3水準メッシュ使用時）、$\varepsilon$ はメッシュ間の相対誤差だ。GCI < 5% が収束の目安。片持ち梁でHEX20を使えば、要素数を20→40→80と倍々にしたとき $p \approx 2$ が観測でき、GCI < 1% に容易に到達する。

Solution Verificationの一環だ。単一ソルバーの結果だけでは実装バグに気づけないことがある。同一メッシュ（UNVやMED形式で共有）を使って Nastran、Abaqus、CalculiX で解き、全員が理論解に収束するか確認する。1つだけ外れていたらそのソルバーの要素定式化か境界条件の適用に問題がある。

節点番号の順序がソルバーごとに異なる。Abaqusは反時計回り、Nastranは時計回りなど。変換時に法線が反転して荷重方向が逆になる事故が起きうる。Gmshで出力形式を切り替えるのが安全だ。また、要素タイプの厳密な対応関係（例: AbaqusのC3D20とNastranのCHEXA-20は節点順序が違う）を確認しておく必要がある。