チャネル流れDNS — 数値解法と実装
DNS手法
DNSってどういうアルゴリズムで解くんですか？
DNS（Direct Numerical Simulation）は乱流の全スケールを解像する。モデルなしでNavier-Stokes方程式を直接解く。チャネル流れDNSでは擬スペクトル法が主流だ。
擬スペクトル法
流れ方向（$x$）とスパン方向（$z$）は周期境界条件なのでFourier級数展開、壁直交方向（$y$）はChebyshev多項式展開を使う。
非線形項（対流項）は物理空間で計算し、FFTで波数空間に変換する。これが「擬」スペクトル法と呼ばれる所以だ。
非線形項を波数空間で直接計算しないんですね。
波数空間で対流項を計算するとconvolution（畳み込み）になり計算量が $O(N^2)$ になる。物理空間で計算してFFTすれば $O(N \log N)$ で済む。ただしaliasing誤差が生じるので3/2則（de-aliasing）を適用する。
格子解像度の要件
DNSではKolmogorovスケール $\eta$ 以下の格子が必要。チャネル流れでは内層変数で表現する。
| 方向 | 推奨解像度 | 備考 |
|---|---|---|
| 流れ方向 $\Delta x^+$ | 5〜10 | 縞状構造を解像 |
| スパン方向 $\Delta z^+$ | 3〜5 | 縞状構造の幅 $\lambda_z^+ \approx 100$ |
| 壁直交 $\Delta y^+_{wall}$ | < 1 | 粘性底層を解像 |
| 壁直交 $\Delta y^+_{center}$ | 5〜10 | チャネル中心 |
時間積分
時間積分はどうするんですか？
粘性項には陰解法（Crank-Nicolson）、非線形項には陽解法（3次Adams-Bashforth or 3段Runge-Kutta）のハイブリッドが標準だ。CFL条件は陽解法部分で決まり、典型的には $\Delta t^+ \approx 0.1$〜$0.5$ だ。
統計量を得るにはどのくらい時間積分するんですか？
統計的定常に達するまでの助走時間（wash-out time）として $T u_\tau / \delta > 10$ 程度、その後サンプリングに $T u_\tau / \delta > 20$〜$50$ が必要だ。統計量の収束は高次モーメントほど遅い。
F1と空力の戦い
F1マシンは時速300kmで走ると、車重と同じくらいのダウンフォース（下向きの空力的な力）を発生します。つまり理論上、天井に貼り付けて走れる！ チームは数千CPU時間のCFDシミュレーションを毎週実行し、フロントウィングの角度を0.1°単位で最適化しています。F1はCAEの技術力がそのまま順位に直結する世界です。
離散化手法の詳細解説
空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。
風上差分（Upwind）
1次風上: 数値拡散が大きいが安定。2次風上: 精度向上するが振動のリスク。高レイノルズ数流れでは必須。
中心差分（Central Differencing）
2次精度だが、Pe数 > 2で数値振動が発生。低レイノルズ数の拡散支配流れに適する。
TVDスキーム（MUSCL、QUICK等）
リミッタ関数により数値振動を抑制しつつ高精度を維持。衝撃波や急勾配の捕捉に有効。
有限体積法 vs 有限要素法
FVM: 保存則を自然に満足。CFDの主流。FEM: 複雑形状・マルチフィジックスに有利。SPH等のメッシュフリー法も発展中。
マトリクスソルバーの選定指針
問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。
| ソルバー種別 | 詳細・推奨条件 |
|---|---|
| 圧力-速度連成（SIMPLE系） | SIMPLE: 標準的だが収束が遅い。SIMPLEC: 圧力補正の緩和が改善。PISO: 非定常問題に適する。 |
| 連立系ソルバー | AMG（代数的マルチグリッド）: 大規模問題の標準。ILU前処理: メモリ効率良好。ブロックGauss-Seidel: 連成系に有効。 |
| DOF別推奨 | 〜10⁵セル: SIMPLE+AMG、10⁵〜10⁷セル: SIMPLEC+AMG+並列、10⁷セル〜: 結合型ソルバー（Coupled Solver）を検討 |
時間積分法と収束判定
ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。
CFL条件（クーラン数）
陽解法: CFL ≤ 1が安定条件。陰解法: CFL > 1でも安定だが、精度と反復回数に影響。LES: CFL ≈ 1を推奨。物理的意味: 1タイムステップで情報が1セル以上進まないこと。
残差モニタリング
連続の式・運動量・エネルギーの各残差が3〜4桁低下で収束と判断。質量保存の残差は特に重要。
緩和係数
圧力: 0.2〜0.3、速度: 0.5〜0.7が一般的な初期値。発散する場合は緩和係数を下げる。収束後は上げて加速。
非定常計算の内部反復
各タイムステップ内で定常解に収束するまで反復。内部反復数: 5〜20回が目安。残差がタイムステップ間で変動する場合は時間刻みを見直す。
数値解法の直感的理解
FVMのイメージ
有限体積法は「会計帳簿」に似ている。各セル（口座）について「入ってくる量」と「出ていく量」の収支を厳密に管理する。隣のセルに流れ出た量は、そのセルに流れ込む量と完全に一致する——これが「保存性」であり、流体解析で質量やエネルギーが勝手に増減しないことを保証する。
SIMPLE法のたとえ
SIMPLE法は「交互に調整する」手法。まず速度を仮に求め（予測ステップ）、その速度で質量保存が満たされるよう圧力を補正し（補正ステップ）、補正された圧力で速度を修正する——このキャッチボールを繰り返して正解に近づく。2人で棚を水平にする作業に似ている：片方が高さを合わせ、もう片方がバランスを取り、これを交互に繰り返す。
風上差分のたとえ
風上差分は「川の流れに立って上流の情報を重視する」手法。川の中にいる人が下流を見ても水の出所は分からない——上流の情報が下流を決めるという物理を反映した離散化手法。精度は1次だが、流れの方向を正しく捕捉するため安定性が高い。
CFDメッシュの品質管理や乱流モデルの選定に悩む時間を、もっと創造的な設計作業に使えたら。 — Project NovaSolverはそんな実務者の声から生まれました。
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