梁の自由振動解析 — 理論と支配方程式

そう。梁の自由振動は理論解が存在する数少ない問題の一つであり、FEMの精度検証に不可欠だ。

オイラー・ベルヌーイ梁の自由振動方程式：

分離変数法 $w(x,t) = W(x) e^{i\omega t}$ で空間部分：

一般解：

ここで $\beta^4 = \rho A \omega^2 / (EI)$。

4つの定数 $C_1 \sim C_4$ は4つの境界条件で決まる。非自明解の条件（振動数方程式）から固有振動数が得られる。

$n$ 次の固有振動数 $f_n = (\beta_n L)^2 / (2\pi L^2) \sqrt{EI/(\rho A)}$：

$f \propto (\beta L)^2$ だから22.37/3.516 = 6.36倍。境界条件で振動数が6倍以上変わる。FEMで理論値と合わない場合、まず境界条件を疑う。

せん断変形と回転慣性を含むため、高次モードでEB梁と差が出る：

常にティモシェンコ梁の方が低い振動数。差は$f \cdot h / c_s$（$c_s$ = せん断波速度）が大きいとき顕著。

そう。1次モードでは差がわずか（1〜2%）だが、10次モードでは10〜30%の差になることがある。高次モードまで正確に求めたい場合はティモシェンコ梁が必要。

梁の自由振動はFEMのベンチマーク問題として最適：

1. 理論解が正確にわかっている

2. 要素数を変えてメッシュ収束を確認できる

3. EB梁要素とティモシェンコ梁要素の差を体験できる

4. 梁要素とシェル/ソリッド要素の比較ができる

片持ち梁の1次固有振動数をFEMで計算し、理論値 $f_1 = 3.516/(2\pi L^2) \sqrt{EI/\rho A}$ と比較する。これだけで要素の精度、境界条件、質量の設定が正しいか全て確認できる。

要点：

• $EI W'''' = \rho A \omega^2 W$ — 4階ODEの固有値問題
• 理論解が存在 — FEMの最良のベンチマーク
• 境界条件で振動数が6倍以上変わる — 最初にチェック
• 高次モードではティモシェンコ梁が必要 — EB梁は高次で不正確
• $(\beta_n L)^2$ の値を暗記 — 片持ち: 3.516, 単純梁: $\pi^2$