ヘルツ接触理論（球−平面） — 実践ガイド

段階的に進める。

1. Boussinesq問題の検証（前段）: 集中荷重下の半空間の応力場が理論値に一致することを確認

2. Hertz接触（同材・球-平面）: 最も基本的な設定で接触半径、面圧、近づき量を検証

3. Hertz接触（異材・球-球）: 等価弾性係数と等価半径の計算が正しいか確認

4. 摩擦付きHertz接触: Mindlin理論との比較。摩擦力分布の検証

5. 弾塑性接触: Hardnessとの関係（Meyer則）。理論解はないのでクロスチェック

ステップ1: 応力の理論値との一致。ステップ2-3: 接触半径（5%以内）、最大面圧（5%以内）、荷重-変位関係の$P \propto \delta^{3/2}$の指数の一致。ステップ4: すべり開始荷重。ステップ5: 残留変形と面圧分布のソルバー間一致。

軸受の接触応力分布はHertz理論で算出し、接触面下の交番せん断応力が転がり疲労寿命を支配する。ISO 281の動定格荷重はHertz理論に基づくLundberg-Palmgren理論で計算される。

FEAでHertz接触を解き、最大せん断応力 $\tau_{max}$ の位置と値を検証することで、軸受設計ツールの妥当性を確認できる。$\tau_{max} = 0.31 p_0$（$z = 0.48a$）が理論値だ。

Hertzの一般理論は楕円接触にも対応しており、楕円積分を含む式で記述される。実用的にはHamrock-Dowsonの近似式が使える。ローラー軸受やギヤの歯面接触がこのケースに相当する。FEAでは3Dモデルで直接解くが、理論値との比較で精度を担保する。

FEAでは接触状態（open/closed/sliding）のフラグで接触領域を判定する。Abaqusでは COPEN（接触開口量）がゼロ以下の節点が接触状態にある。この節点群の外縁が接触半径に対応する。

より正確には、面圧が正の領域の面積を積分する。CPRESS > 0 の要素面積の合計が接触面積 $\pi a^2$ と一致するか確認する。メッシュが粗いと接触縁の階段状離散化で誤差が出るから、細かいメッシュが必要だ。