ヘルツ接触理論（球−平面） — 発展的話題

最大von Mises応力が降伏応力に達すると塑性変形が始まる。降伏開始荷重は $P_y = (\pi \sigma_y)^3 R^{2} / (6E^{2}) \times C_y^3$ で、$C_y \approx 1.6$ は理論的に求められている（Tabor, 1951）。

塑性変形が進むと面圧分布がHertzの半楕円分布から一様分布に近づき、接触半径は弾性予測より大きくなる。この領域では解析解がないから、FEAのクロスバリデーションか実験との比較がValidationの手段になる。

材料モデルの選択が結果を大きく左右する。等方硬化と移動硬化で除荷後の残留変形が変わる。J2塑性（von Mises）が標準だが、接触面直下の3軸応力状態でのモデルの妥当性を考慮する必要がある。メッシュは弾性ケースの2〜3倍の密度が必要で、塑性域の要素サイズは接触半径の1/20以下にする。

Hertz理論を準静的に適用すると、衝突時間$T$と最大変形$\delta_{max}$が予測できる。

$m$ は球の質量、$v$ は衝突速度。陽解法（LS-DYNA、Abaqus/Explicit）の検証に使える。反発係数 $e = 1$（完全弾性衝突）の再現が検証指標だ。

接触部の要素サイズが小さいとCFL条件 $\Delta t \leq h_{min}/c_L$（$c_L$は縦波速度）で時間刻みが極めて小さくなる。質量スケーリング（人工的に密度を増加）で$\Delta t$を大きくする方法があるが、衝突解析では慣性が重要だから適用には注意が必要。

Greenwood-Williamson（1966）モデルが代表的だ。表面粗さを多数のアスペリティ（微小突起）のHertz接触として統計的に扱う。粗さの影響で見かけの接触面積が理論値より大幅に小さくなり、実接触面は名目接触面積の1〜10%程度になる。

FEAではフラクタル表面の直接モデル化や、粗さの統計的パラメータを入力する表面相互作用モデル（Abaqusの*SURFACE BEHAVIOR with roughnessなど）が利用可能だ。ただし計算コストが膨大になるため、マルチスケール手法やROMが研究されている。