ヘルツ接触理論（球−平面） — 数値解法と実装

主に3種類だ。

Hertz検証にはラグランジュ乗数法か拡張ラグランジュ法を推奨する。ペナルティ法だとペナルティ係数の値で面圧が変わるから、検証には適さない。

Abaqusはデフォルトで拡張ラグランジュ法（SURFACE INTERACTION + CONTACT PAIR）。NastranはSOL 101のGLUE/SLIDE接触でペナルティベース。Ansysはデフォルトで拡張ラグランジュ。接触問題のV&Vでは使用したアルゴリズムを明記することが必須だ。

接触面の要素サイズが接触半径 $a$ の1/10以下であること。粗いメッシュだと接触面が階段状になり、面圧分布が不正確になる。

推奨構成:

• 接触面近傍: $h_{elem} = a/10$。HEX20の構造メッシュ
• 接触面から離れた領域: バイアスで粗くする。比率2.0程度
• 球の1/4対称モデル（2面の対称条件）
• 平面側は半径 $10a$ 以上のモデルサイズ

Abaqusの慣例では凸面（球）をslave、平面をmasterにする。slaveの方がメッシュを細かくすべきだ。NastranやAnsysでも同様の考え方で、剛性が高い面をmasterにする。両面のメッシュ密度が大きく異なる場合は面圧の精度に影響するから、接触面では両側のメッシュ密度を揃えるのが望ましい。

Hertz問題のような滑らかな接触は通常問題なく収束する。収束しない場合:

1. 初期接触のギャップを確認。ギャップが大きすぎると初期ステップで接触が検出されない

2. 荷重を複数ステップに分割。NLGEOM=ON で幾何非線形を有効にする

3. 接触の安定化（Abaqusの*CONTACT CONTROLS, STABILIZE）を一時的に有効にする

4. スムーシングオプション（Abaqusの*SURFACE SMOOTHING）で接触面の不連続を軽減

Hertz接触では球と平面の近づきに伴って接触面積が変化する。これは幾何学的非線形だからNLGEOM=ONが必須。ONにしないとソルバーは初期のギャップ状態に基づいた線形近似をしてしまい、正しい接触面積が得られない。