構造格子 — 数値解法と実装

代表的な手法を3つ紹介しよう。

境界上の格子点分布を与えて、内部の格子点を補間で決定する。計算が速いが、複雑な形状では格子品質の制御が難しい。

Poisson方程式を解いて格子点を配置する。

制御関数 $P, Q, R$ を調整することで壁面近傍への格子集中や直交性を制御できる。最も格子品質が高くなるが、反復計算が必要で生成に時間がかかる。

壁面から法線方向に格子を「成長」させる手法だ。境界層メッシュの生成に特に有効で、壁面直交性が自然に確保される。

実務では、まずTFIで初期格子を作り、楕円型ソルバーで平滑化するハイブリッドアプローチが多い。ICEMやPointwiseではこれが標準的なワークフローだ。

その場合はマルチブロック構造格子を使う。計算領域を複数のブロックに分割し、各ブロック内は構造格子、ブロック間は接続面（interface）で情報を受け渡す。

ブロック間の接続には大きく分けて2種類ある。

• Conformal（整合）: 接続面で格子点が一致。補間誤差なし
• Non-conformal（不整合）: 格子点が一致しない。補間が必要

精度の面ではそうだが、複雑な形状では整合を維持するためにトポロジー設計が非常に難しくなる。実務ではICEM CFD Hexaのようなブロックトポロジーエディタが重宝される。ただし、このトポロジー設計こそが構造格子の最大のボトルネックで、熟練者でも自動車1台分のメッシュに数日〜数週間かかることがある。

構造格子では格子点が規則的に並んでいるから、高次精度の差分スキームが自然に構築できる。例えば5次精度のWENOスキームや、コンパクト差分法（Pade型）は構造格子でこそ真価を発揮する。

非構造格子上で同等の高次精度を実現しようとすると、最小二乗法による勾配再構築や不等間隔への対応が必要で、計算コストが跳ね上がるんだ。

その通り。学術的な高精度計算では依然として構造格子が主流だ。特にチャネル流れやパイプ流れのような比較的単純な形状のDNSでは、構造格子一択と言っていい。