磁気流体力学（MHD） — トラブルシューティングガイド

MHD特有のトラブルをパターン別に整理しよう。

症状: MHDによる圧力損失が理論値より大幅に小さい

原因: Hartmann層（厚さ $\delta_H \sim H/\text{Ha}$）のメッシュ解像度が不足。壁面近傍の速度勾配と電流が正確に計算できていない。

対策:

• Hartmann層内に最低5セル以上配置
• Ha = 100, $H$ = 0.1 m の場合: $\delta_H$ = 1 mm、第一層 = 0.2 mm
• Ha = 1000 の場合: $\delta_H$ = 0.1 mm、第一層 = 0.02 mm
• 壁面近傍のプリズム層成長率を1.1以下に抑える

症状: $\nabla \cdot \mathbf{J}$ がゼロにならず、非物理的なチャージアップが発生

原因: 電位のPoisson方程式の解が不十分、または電流密度の計算スキームが保存型でない

対策:

• 電位方程式の収束基準を十分に厳しくする（残差 $< 10^{-8}$）
• 電流密度のフェース値を保存型で計算（勾配のフェース中心評価）
• 壁面の電気的境界条件を確認（絶縁壁: $\partial\phi/\partial n = (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{n}$）

症状: 非物理的な磁気モノポール力が発生し、プラズマの挙動がおかしい

原因: 誘導方程式の離散化で $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ が数値的に保証されていない

対策:

• Constrained Transport: 磁束をフェースで定義し、正確な離散Stokesの定理で更新
• Divergence Cleaning: $\psi$ を導入し、$\partial\mathbf{B}/\partial t + \nabla\psi = ...$ で磁気モノポールをダンプ
• Powell 8-wave法: ソース項に $-\nabla \cdot \mathbf{B}$ 比例の項を追加して安定化

症状: MHDで流れが層流化するはずの領域で乱流粘度が過大に計算される

原因: 標準 $k$-$\varepsilon$ モデルはMHDによる乱流抑制効果を考慮していない

対策:

• MHD修正付き乱流モデルを使用（Fluent MHD module に含まれる）
• LESを使用（MHD効果がスケール分解で自然に考慮される）
• DNS（可能な場合）
• Stuart数 $N = \text{Ha}^2/\text{Re}$ が $> 1$ なら、乱流を無視して層流計算から始める

MHD計算のシステマティックなデバッグ手順:

1. 磁場なし（Ha = 0） で流れ場を収束させる

2. 弱い磁場（Ha = 10程度） を印加し、Hartmann流れとの比較で実装を検証

3. 磁場を段階的に目標値まで上げる

4. 各段階で圧力損失を理論値と比較: $\Delta p_{\text{MHD}}/\Delta p_0 \propto \text{Ha}^2$ （高Ha極限）

5. 電流密度の分布を可視化し、物理的に妥当か確認

MHDは方程式の連成が強いので、いきなり高Ha数で計算を始めると発散するリスクが高い。Hartmann流れという確立された検証問題があるのは大きなアドバンテージだ。活用しない手はないよ。