磁気流体力学（MHD） — 数値解法と実装

低Rm近似（工業液体金属の大半）と高Rm問題（プラズマ、天体物理）で手法が異なる。

$\text{Rm} \ll 1$ の場合、誘導磁場は印加磁場に比べて無視でき、磁場は既知の外部場 $\mathbf{B}_0$ として扱える。電場の支配方程式は:

$\phi$ は電位。この Poisson方程式を解いて $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ を求め、$\mathbf{J} = \sigma(-\nabla\phi + \mathbf{u} \times \mathbf{B}_0)$、$\mathbf{F}_L = \mathbf{J} \times \mathbf{B}_0$ を計算してN-S方程式のソース項に加える。

計算手順:

1. 流れ場から $\mathbf{u} \times \mathbf{B}_0$ を計算

2. 電位のPoisson方程式を解く

3. 電流密度 $\mathbf{J}$ を計算

4. Lorentz力 $\mathbf{F}_L$ をN-S方程式に加えて流れ場を更新

5. 収束まで1-4を繰り返す

$\text{Rm} \gg 1$（プラズマ物理、天体物理）では磁場の誘導方程式をフルに解く必要がある。

主要な数値手法:

• Constrained Transport (CT) 法: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ をセルフェースでの磁束保存で厳密に維持
• Divergence Cleaning法: $\nabla \cdot \mathbf{B}$ の誤差をダンピングする補正方程式を追加
• ベクトルポテンシャル法: $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ として $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ を自動的に保証

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ の維持は数値MHDの根本的な課題だ。これが崩れると非物理的な磁気モノポール力が発生し、計算が破綻する。

MHDの最も基本的な解析解がHartmann流れだ。平行平板間の流れに壁面に垂直な磁場 $B_0$ を印加する。

Ha = 0 で放物線分布（Poiseuille流れ）、Ha → ∞ で壁面近傍のHartmann層（厚さ $\delta_H \sim H/\text{Ha}$）を除いてフラットな分布になる。

その通り。Hartmann層を解像するには壁面近傍にHa数に比例した数のメッシュ層が必要になる。これがMHD計算の主要なコストの一つだ。