超音速流れ — CFD手法と空間離散化

主な違いは3つある。第一に衝撃波捕捉のための風上系スキームが必要。第二に化学反応（高温ガス効果）の考慮が高マッハ数で必要になる。第三に境界条件の設定が異なる。超音速入口では全変数を規定し、超音速出口では全変数を外挿する。

Shock fitting（衝撃波適合法）は衝撃波の位置を未知数として扱い、衝撃波を格子の境界に正確に配置する方法だ。衝撃波が鋭く解像されるメリットがある。一方、shock capturing（衝撃波捕捉法）は衝撃波を数値拡散の範囲で自動的に捕捉する。

実務ではshock capturingが圧倒的に主流だ。理由は以下の通り。

MOCは超音速ノズルの輪郭設計では今でも標準的な手法だよ。定常2次元超音速流れでは特性線に沿ってリーマン不変量が保存されるから、特性線を追跡していけば流れ場を構築できる。

具体的には、$C^+$ 特性線（マッハ線）に沿って、

が成り立つ。スロートから始めてこれらの関係式を格子点ごとに解いていくと、所望のマッハ数分布を実現するノズル壁面形状が得られる。NASA CELVのような超音速風洞のノズル設計に今でも使われている。

MOCは無粘性・等エントロピーの仮定のもとで厳密解を与えるから、CFDの検証に使える。またノズル設計では逆問題（所望のマッハ数分布→壁面形状）を直接解けるのがCFDにはない強みだ。

$M > 5$ 程度（極超音速域）では衝撃波後方の温度が数千Kに達し、以下の効果が無視できなくなる。

• 振動励起: $T > 800$ K で分子の振動モードが励起され、$\gamma$ が低下
• 解離: $T > 2500$ K で $O_2$ が解離、$T > 4000$ K で $N_2$ が解離
• 電離: $T > 9000$ K で電離が始まり、プラズマ効果

これらを扱うには、理想気体の状態方程式 $p = \rho R T$ を化学平衡モデルまたは化学非平衡モデルに置き換える必要がある。FluentのSpecies Transportモデル、OpenFOAMのhy2Foamソルバー、NASA CEAデータベースを用いたテーブル参照法などが使われるよ。