1次元非定常熱伝導（半無限体） — 実践ガイド

NAFEMS T1は「1次元非定常熱伝導」で、以下の条件だ。

• 形状: 長さ 0.1 m の棒
• 初期温度: 0°C
• 片端温度: 100°C（ステップ変化）
• 反対端: 断熱（$q = 0$）
• 材料: $k = 52$ W/(m·K)、$\rho c_p = 3.4 \times 10^6$ J/(m³·K)
• 評価点: $x = 0.08$ m、$t = 32$ s
• 参照解: $T = 36.60$°C

この問題は有限長棒だから、厳密にはフーリエ級数解で求める。短時間では半無限体のerfc解で近似できる。

時間刻みが粗すぎる場合と、メッシュが粗すぎる場合。特に後退Eulerで大きな$\Delta t$を使うと、温度の浸透速度が数値拡散で過大評価される。Crank-Nicolsonで$\Delta t$を$t_{final}/100$以下にすれば十分な精度が得られる。

Pythonでerfcを計算し（scipy.special.erfc）、FEA結果と自動比較するスクリプトを書く。

判定基準:

• 半無限体近似が有効な短時間: erfc解との相対誤差 1% 以内
• 有限長棒: NAFEMS参照値との絶対温度差 0.5°C 以内
• GCI: 空間・時間とも 5% 以内

3水準のメッシュ × 3水準の時間刻みの9ケースを回し、空間と時間の収束性を独立に評価するのが理想だ。

まず十分細かい時間刻みで空間収束を確認し、次に収束したメッシュで時間刻みを変えるという2段階法で5ケースに減らせる。ただし両方向が相互に影響する場合（クーラン数依存の安定化スキームなど）は独立した評価が必要になる。

Newtonの冷却法則 $q = h_{conv}(T_s - T_\infty)$ を境界条件にすると、理論解がより複雑になるが閉形式は存在する。

ここで $\eta = x/(2\sqrt{\alpha t})$、$Bi = h_{conv}\sqrt{\alpha t}/k$、$Fo = \alpha t/L^2$。

この問題はNAFEMS T3ベンチマークに対応する。対流境界条件（Abaqusの*FILM、NastranのCONV）の実装検証に使う。