1次元非定常熱伝導（半無限体） — 発展的話題

Stefan問題（移動境界問題）だ。固液界面が時間とともに移動する。1次元の場合、Neumann解として厳密解が存在する。界面位置は $s(t) = 2\lambda\sqrt{\alpha t}$ で進行し、$\lambda$ は超越方程式の根から決まる。

FEAでは潜熱を見かけの比熱として扱うエンタルピー法が一般的。Abaqusの*LATENT HEAT、COMSOLのPhase Change Materialで設定する。界面位置の理論値との比較でソルバーの精度を検証する。

潜熱を与える温度幅（マッシーゾーン幅）の設定が結果に大きく影響する。理論解は幅ゼロ（ステップ関数）だが、数値的には有限幅が必要。幅を系統的に狭くして結果が収束するか確認する。また、時間刻みが粗いと界面が1ステップで複数要素を通過して精度が劣化する。

非線形問題になり、一般には厳密解が存在しない。しかしKirchhoff変換 $\Theta = \int_0^T k(T')dT'$ を使えば、$k(T)$が既知関数の場合に線形化できるケースがある。

$k(T) = k_0(1 + \beta T)$ の場合、Kirchhoff変数での支配方程式は線形の熱伝導方程式と同形になるから、erfc解をKirchhoff変数で適用し、逆変換で温度に戻せる。これは温度依存物性の実装検証に使える希少な参照解だ。

MMS（製造解法）が有効だ。任意の温度場 $T(x,t)$ を仮定し、非線形熱伝導方程式に代入してソース項を逆算する。このソース項をFEAに与えて得られた数値解と仮定した解を比較する。非線形問題のCode Verificationの標準的手法だ。

非定常熱伝導で得た温度場を構造解析の熱荷重として使う。自由膨張する棒の場合、温度分布$T(x)$に対して歪みは$\varepsilon_{th} = \alpha_{th}(T-T_{ref})$、応力はゼロ（拘束がない場合）。

拘束がある場合の熱応力は $\sigma = E\alpha_{th}(T - T_{ref})$ で理論値が求まる。この一連の検証（温度場→熱応力）を連成解析として検証することで、データ転送のインターフェースの正しさも確認できる。

メッシュマッピング（熱メッシュから構造メッシュへの温度転写）の精度だ。メッシュが同一なら問題ないが、異なるメッシュ間で補間する場合、補間誤差が温度場に乗る。最悪の場合、局所的な温度ジャンプが偽の熱応力を生成する。同一メッシュでの結果を基準にして、異なるメッシュ間のマッピング誤差を定量評価すべきだ。