内部発熱を伴う定常伝導 — 先端トピック

電気抵抗は温度とともに変化する。金属の場合 $\rho_e(T) = \rho_0(1 + \alpha T)$ なので、ジュール発熱 $\dot{q}_v = I^2 \rho_e / A^2$ も温度依存する。これは正のフィードバックで、熱暴走の原因になりうる。

金属は $\alpha$ が小さい（$\sim 4 \times 10^{-3}$ /K）ので通常問題にならない。しかしセラミックPTCヒーターなど非線形性が大きい材料では安定性解析が重要だ。

化学反応熱を伴う系では、Arrhenius型の発熱率

が適用される。Frank-Kamenetskiiパラメータ $\delta$ が臨界値を超えると定常解が存在せず、熱暴走が生じる。

平板で $\delta_{cr} = 0.88$、円筒で $\delta_{cr} = 2.00$、球で $\delta_{cr} = 3.32$ だ。

バッチ反応器や火薬の自己発火温度の予測に使われる。COMSOLのChemical Engineering ModuleでArrhenius項を含む熱解析が可能だ。

半導体デバイスでは、チップ全体を一様発熱とするのは粗すぎる。ゲートレベルの発熱マップ（Power Map）をFEMに入力して詳細な温度分布を求める。

チップ全体は数cm角、ゲートは数nm。直接メッシュ化は不可能なので、マルチスケールアプローチが必須だ。Ansys RedHawkやCadence Voltusでパワーマップを生成し、Ansys Icepakに入力する連携が一般的だ。