キルヒホッフ板理論 — トラブルシューティングガイド

直接的なFEM要素のトラブルではなく、理論の適用範囲を超えたときに問題が起きる。

板が厚すぎる（$b/t < 20$）。キルヒホッフ理論はせん断変形を無視するから、厚板ではFEMのほうが正しい（ミンドリン要素がせん断変形を含む）。

確認方法：ミンドリン板のFEMで $t$ を非常に薄くする（$b/t > 100$）。キルヒホッフの理論値に収束するはず。

キルヒホッフ板の「単純支持」は：

• $w = 0$（面外変位ゼロ）
• $M_n = 0$（法線方向モーメントゼロ）

FEMで $w = 0$ だけ拘束すると単純支持。$w = 0$ かつ $\theta = 0$ を拘束すると固定支持。混同しないこと。

キルヒホッフ板理論では、点荷重のたわみは $w = P/(8\pi D) \cdot r^2 \ln r$ で有限だが、曲げモーメントは $r \to 0$ で対数的に発散する。FEMではメッシュを細かくするほどモーメントが増加し続ける。

対策：

• 集中荷重を微小面積の分布荷重に変換
• 点荷重近傍の応力は信用しない（Saint-Venantの原理で離れた位置を評価）
• 実構造では完全な点荷重は存在しないから、接触面積を考慮

• 厚板ではキルヒホッフ理論が不正確 → $b/t < 20$ ならミンドリン理論を使う
• 支持条件の定義 → $w = 0$ が単純支持。$w = 0, \theta = 0$ が固定支持
• 集中荷重の特異性 → 面荷重に変換するか、荷重点から離れた位置で評価
• 理論とFEMの差 → $b/t > 100$ でFEMがキルヒホッフに収束するか確認

まさにそう。キルヒホッフ板理論を知らずに板の曲げをFEMで解析するのは、教科書を読まずに試験を受けるようなものだ。