キルヒホッフ板理論 — 理論と支配方程式

まさにそう。オイラー・ベルヌーイ梁が「断面は常に中立軸に直交」と仮定するように、キルヒホッフ板理論は「板厚方向の直線は変形後も中立面に直交し、かつ直線のまま」と仮定する。

キルヒホッフの仮定：

1. 直交法線仮定 — 変形前に中立面に直交する直線は、変形後も中立面に直交

2. 非伸長法線仮定 — 板厚方向のひずみ $\varepsilon_{zz} = 0$

3. 板厚方向のせん断ひずみゼロ — $\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$

そう。この仮定により、回転角は面外たわみの微分で決まる：

自由度はたわみ $w(x,y)$ の1つだけで、回転角は独立変数ではない。

板のたわみ $w(x,y)$ に対するバイハーモニック方程式：

ここで $D = Et^3/(12(1-\nu^2))$ は板の曲げ剛性、$q$ は面外分布荷重。

その通り。$\nabla^4 = \nabla^2(\nabla^2)$ だから：

内力成分：

そう。板の曲げ応力は：

板の表面（$z = \pm t/2$）で最大応力。梁の $\sigma = My/I$ と同じ構造だ。

薄板が前提。目安は $b/t > 20$（$b$: 板の短辺、$t$: 板厚）。

ティモシェンコ梁と同じ構造で：

• $b/t > 20$: キルヒホッフ板で十分
• $10 < b/t < 20$: ミンドリン板を検討
• $b/t < 10$: ミンドリン板またはソリッド

まさにそう。キルヒホッフ板 = EB梁の2次元版、ミンドリン板 = ティモシェンコ梁の2次元版。せん断変形を考慮するかどうかの違い。

実は非常に難しい。キルヒホッフ板理論は $w$ の4階微分を含むため、FEMで実装するには $C^1$ 連続性（変位と回転角の両方が要素間で連続）が必要。通常のFEM（$C^0$ 連続性）ではこれを満たせない。

2次元で $C^1$ 連続を達成する多項式要素を作るのは困難だ。歴史的にはArgyris三角形（21自由度）やBell三角形（18自由度）が開発されたが、自由度が多く実用的でない。このためミンドリン板理論（$C^0$ で済む）のほうが FEMでは主流になった。

要点：

• せん断変形を無視した薄板の曲げ理論 — EB梁の2次元版
• $D\nabla^4 w = q$ — バイハーモニック方程式
• $b/t > 20$ で適用 — 薄板に限定
• FEMでは $C^1$ 連続性が必要 — 実装が難しい
• 実務ではミンドリン板（$C^0$ で済む）が主流 — キルヒホッフ板要素は稀

そう。ただしキルヒホッフ板理論は理論解の基盤であり、FEMの結果を検証する際の参照解として不可欠だ。Navier解（矩形板の二重フーリエ級数解）はキルヒホッフ理論の古典的解法だ。