平面ひずみ問題 — 理論と支配方程式

平面ひずみ（plane strain）は、構造の奥行き方向（$z$ 方向）のひずみがゼロという仮定だ：

奥行きが断面寸法に比べて十分長い構造だ。構造の中央付近では端部の影響がなく、奥行き方向の変形が拘束される。

典型例：

• ダムの断面 — 奥行き（河川方向）が非常に長い
• トンネルの断面 — 軸方向に一様な断面
• 長い堤防 — 堤体の長手方向に一様
• 圧延ロール — 幅方向に一様な変形
• 地盤のすべり面 — 奥行きに一様と仮定

その理解は完璧だ。「どの方向が特別か」で使い分ける。薄い方向（板厚）の応力がゼロ→平面応力。長い方向（奥行き）のひずみがゼロ→平面ひずみ。

平面ひずみの構成則（マトリクス形式）：

これが平面ひずみの最も重要な特徴だ。非圧縮材料（$\nu = 0.5$）では体積変化がゼロなのに、$\varepsilon_{zz} = 0$ も要求されるため、面内変形の自由度が極端に制限される。これが体積ロッキングの原因だ。

その通り。$\nu > 0.49$ 程度で通常の要素は使い物にならなくなる。ハイブリッド要素（圧力を独立変数にする）や低減積分要素が必須だ。

そう。$z$ 方向のひずみがゼロでも、ポアソン効果で $z$ 方向に応力が発生する：

この $\sigma_{zz}$ は拘束応力であり、平面ひずみの仮定が成り立つ限り自動的に発生する。3次元解析で同じ問題を解くと、構造の中央部ではこの $\sigma_{zz}$ が確認でき、端部では $\sigma_{zz} \to 0$（平面応力に近づく）ことが見える。

掘削、盛土、擁壁、トンネルなど、長手方向に一様な断面を持つ地盤問題では平面ひずみが事実上の標準だ。

ただし注意点がある：

• 土の構成則 — Mohr-Coulomb、Cam-Clay等は3次元応力状態で定義されるが、平面ひずみでは中間主応力 $\sigma_2 = \sigma_{zz} = \nu(\sigma_1 + \sigma_3)$ が自動的に決まる。この $\sigma_2$ が破壊判定に影響する
• 異方性 — 堆積土は水平方向と鉛直方向で剛性が異なる（横等方性）。平面ひずみでもこの異方性は考慮すべき

Mohr-Coulomb基準は中間主応力の影響を無視するため、平面ひずみでは保守的（安全側）な予測になることが多い。中間主応力を考慮するDrucker-PragerやLade基準を使うと、より現実的な強度評価になる。

要点：

• $\varepsilon_{zz} = 0$ の仮定 — 長い柱状構造の断面解析に適用
• $\sigma_{zz} = \nu(\sigma_x + \sigma_y)$ — 奥行き方向に拘束応力が発生
• $(1-2\nu)$ が分母に入る — $\nu \to 0.5$ で剛性が発散（体積ロッキング）
• 地盤力学の標準的な仮定 — 掘削、トンネル、盛土
• 平面応力との混同は厳禁 — 仮定が全く異なる

そう。どちらも2次元に帰着するが、「何がゼロか」が違う。応力がゼロ（平面応力）か、ひずみがゼロ（平面ひずみ）か。この出発点の違いが全ての差を生む。