中央差分法（陽解法） — 数値解法と実装

メインループは極めてシンプル：

```

for each time step:

1. 内力の計算: F_int = assemble(sigma B V) $ 要素ループ

2. 外力の計算: F_ext = boundary_conditions()

3. 加速度: a = (F_ext - F_int) / M_diag $ 対角割り算

4. 速度更新: v = v + dt * a

5. 変位更新: u = u + dt * v

6. 接触チェック: contact_detection_and_force()

7. 時間増分更新: dt = CFL * L_min / c

```

そう。ここが陽解法の速さの源泉。陰解法ではステップ3が「$n \times n$ の連立方程式の求解」になり、計算量が桁違い。

安定時間増分は全要素の中で最も小さい値で決まる：

1つの要素が小さいだけで全体の $\Delta t$ が小さくなる。

メッシュ品質が計算速度に直結する。アスペクト比の悪い要素やつぶれた要素は $L_e$ が非常に小さく、$\Delta t$ を減少させる。陽解法ではメッシュ品質が計算効率の鍵。

小さい要素の質量を人為的に増やして $\Delta t$ を大きくする質量スケーリング：

$\rho$ を増やすと $c$ が下がり $\Delta t$ が大きくなる。準静的問題の陽解法で必須のテクニック。

変わる。だから運動エネルギー/内部エネルギー < 5%を確認する必要がある。この条件が満たされれば「準静的」と見なせる。

要点：

• メインループが極めてシンプル — 対角行列の逆数で加速度計算
• 最小要素が$\Delta t$を支配 — メッシュ品質が計算速度の鍵
• 質量スケーリングで準静的にも適用 — 運動エネルギー < 5%で確認
• LS-DYNAが衝突安全の業界標準 — 自動車OEM全社が使用
• Abaqus/ExplicitはAbaqusファミリーの陽解法 — Standard→Explicitの切り替え