Newton-Raphson法 — CAE用語解説

Newton-Raphson法は、非線形方程式系の反復解法。CAEにおける非線形解析（材料非線形、幾何学的非線形、接触）の標準的な解法アルゴリズム。

残差方程式 $\mathbf{R}(\mathbf{u}) = \mathbf{F}^{ext} - \mathbf{F}^{int}(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ に対して:

式にするとこう。一つずつ見ていこう。

$\mathbf{K}_T = \frac{\partial \mathbf{F}^{int}}{\partial \mathbf{u}}$ は接線剛性行列。

完全Newton-Raphson法は2次収束:

数学的に書くと、こんな形になるんだ。

• Full Newton: 毎反復で$\mathbf{K}_T$を更新（2次収束、高コスト）
• Modified Newton: $\mathbf{K}_T$を初回のみ計算（線形収束、低コスト）
• Quasi-Newton (BFGS, L-BFGS): 近似的に$\mathbf{K}_T$を更新
• Line Search: ステップ長の最適化で大域的収束性を改善
• Arc-Length法: 荷重-変位パスのスナップバック・スナップスルー追跡

うん、いい調子だよ！ 実際に手を動かしてみることが一番の勉強だからね。分からないことがあったらいつでも聞いてくれ。