Newton-Raphson法 — CAE用語解説
Newton-Raphson法
定義
Newton-Raphson法は、非線形方程式系の反復解法。CAEにおける非線形解析（材料非線形、幾何学的非線形、接触）の標準的な解法アルゴリズム。
アルゴリズム
残差方程式 $\mathbf{R}(\mathbf{u}) = \mathbf{F}^{ext} - \mathbf{F}^{int}(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ に対して:
$$ \mathbf{K}_T^{(k)} \Delta\mathbf{u}^{(k)} = \mathbf{R}(\mathbf{u}^{(k)}) $$
$$ \mathbf{u}^{(k+1)} = \mathbf{u}^{(k)} + \Delta\mathbf{u}^{(k)} $$
$\mathbf{K}_T = \frac{\partial \mathbf{F}^{int}}{\partial \mathbf{u}}$ は接線剛性行列。
収束速度
完全Newton-Raphson法は2次収束:
$$ \|\mathbf{e}^{(k+1)}\| \leq C \|\mathbf{e}^{(k)}\|^2 $$
変種
- **Full Newton**: 毎反復で$\mathbf{K}_T$を更新（2次収束、高コスト）
- **Modified Newton**: $\mathbf{K}_T$を初回のみ計算（線形収束、低コスト）
- **Quasi-Newton (BFGS, L-BFGS)**: 近似的に$\mathbf{K}_T$を更新
- **Line Search**: ステップ長の最適化で大域的収束性を改善
- **Arc-Length法**: 荷重-変位パスのスナップバック・スナップスルー追跡
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