壁関数 — 先端技術と研究動向

Kim-Choudhury (1995) やCraft et al. (2002) が提案した非平衡壁関数がある。壁隣接セル内で圧力勾配や対流の効果を考慮した速度分布を解析的に積分する手法だ。

Fluent の Non-Equilibrium Wall Function はこの考え方に基づいている。壁隣接セルの $k$ に関する予算式を考慮し、圧力勾配の影響を以下のように取り込む。

ここで $g(y^+)$ は圧力勾配の効果を表す補正関数だ。

Adaptive Wall Function（Popovac-Hanjalic, 2007）が注目されている。これは壁隣接セル内で1次元の簡易RANS方程式を解いて、壁面フラックスを高精度に推定する手法だ。

壁隣接セル内に仮想的なサブグリッドを導入し、セル内の速度分布 $U(y)$ を以下の方程式で解く。

この方法なら、対数則が成立しない領域でも正確な壁面せん断応力が得られる。OpenFOAMではカスタム実装が可能で、研究用途で使われている。

ある。Wall-Modeled LES（WMLES）だ。LESでは壁面近傍の渦スケールが非常に小さく、直接解像するとメッシュ数が $Re^{13/7}$ に比例して爆発する。そこで壁面近傍だけRANS的な壁モデルを適用し、外層はLESで解く。

代表的なWMLES壁モデルとして、

• Equilibrium stress model: 対数則ベース。最も簡単
• ODE equilibrium model: 壁面近傍でTBL方程式を解く
• Integral wall model (Kawai-Larsson, 2012): 壁面近傍の運動量方程式を積分

Fluent（2020R2以降でWMLES対応）、STAR-CCM+（WMLESオプション）、OpenFOAM（カスタム実装多数）で利用可能だ。航空宇宙や自動車産業でのLES適用拡大に伴い、WMLESの重要性は急速に高まっている。

DNSデータを教師データとして、ニューラルネットワークで壁面フラックスを予測する研究が盛んだ。Yang et al. (2019) やLozano-Duran et al. (2020) の研究では、圧力勾配や曲率の効果を含む壁モデルをMLで構築し、従来の対数則ベースのモデルより高精度な結果を報告している。