Reynolds応力モデル（RSM） — 理論と支配方程式
概要
先生、Reynolds応力モデル（RSM）って他のRANSモデルと何が違うんですか？
最大の違いは、渦粘性仮説（Boussinesq仮定）を使わない点だ。k-epsilonやk-omegaモデルは渦粘性 $\mu_t$ を介してレイノルズ応力 $\overline{u_i'u_j'}$ を平均ひずみ速度に比例させる。RSMはこの仮定を置かず、レイノルズ応力テンソルの6成分それぞれに対する輸送方程式を直接解く。
6成分ってことは、方程式が6本も増えるんですか？
レイノルズ応力テンソルは対称だから独立成分は6つ。それに $\varepsilon$（散逸率）の方程式を加えて計7本の追加方程式を解く。2方程式モデル（k-omega等）に比べて計算コストは2〜3倍になる。
支配方程式
具体的な方程式を教えてください。
レイノルズ応力 $R_{ij} = \overline{u_i'u_j'}$ の輸送方程式は次の通りだ。
各項の意味をまとめよう。
| 項 | 式 | 物理的意味 |
|---|---|---|
| 生成 $P_{ij}$ | $-R_{ik}\frac{\partial U_j}{\partial x_k} - R_{jk}\frac{\partial U_i}{\partial x_k}$ | 平均速度勾配による生成（正確に計算可能） |
| 圧力ひずみ $\Pi_{ij}$ | $\overline{p'\left(\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j'}{\partial x_i}\right)}$ | エネルギーの成分間再分配（要モデル化） |
| 乱流拡散 $D_{ij}^T$ | $-\frac{\partial}{\partial x_k}\overline{u_i'u_j'u_k'}$ | 乱流による輸送（要モデル化） |
| 粘性拡散 $D_{ij}^\nu$ | $\nu\nabla^2 R_{ij}$ | 分子粘性による拡散（正確） |
| 散逸 $\varepsilon_{ij}$ | $2\nu\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}\frac{\partial u_j'}{\partial x_k}}$ | 粘性散逸（要モデル化） |
全部が正確に計算できるわけではないんですね。
その通り。生成項 $P_{ij}$ と粘性拡散は閉じた形で計算できるが、圧力ひずみ項、乱流拡散項、散逸テンソルにはモデル化が必要だ。RSMの精度はこれらのモデルの質に大きく依存する。
圧力ひずみ項のモデル
圧力ひずみ項のモデルにはどんなものがありますか？
代表的なモデルを挙げよう。
| モデル | 提案者 | 特徴 |
|---|---|---|
| LRR (Linear Return to Isotropy) | Launder, Reece, Rodi (1975) | 線形モデル。工業応用の標準 |
| SSG (Speziale-Sarkar-Gatski) | Speziale et al. (1991) | 二次非線形モデル。精度向上 |
| GL (Gibson-Launder) | Gibson, Launder (1978) | 壁面反射効果を考慮 |
LRRモデルでは $\Pi_{ij}$ を以下のように分解する。
$\Pi_{ij,1}$ は低速リターン項（異方性を等方に戻す効果）、$\Pi_{ij,2}$ は急速項（平均ひずみによる再分配）、$\Pi_{ij,w}$ は壁面反射項だ。
F1と空力の戦い
F1マシンは時速300kmで走ると、車重と同じくらいのダウンフォース（下向きの空力的な力）を発生します。つまり理論上、天井に貼り付けて走れる！ チームは数千CPU時間のCFDシミュレーションを毎週実行し、フロントウィングの角度を0.1°単位で最適化しています。F1はCAEの技術力がそのまま順位に直結する世界です。
各項の物理的意味
- 時間項 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：蛇口をひねった瞬間を思い浮かべてください。最初は水がバタバタと不安定に出て、しばらくすると安定した流れになりますよね？ この「変化している最中」を記述するのが時間項です。心臓の拍動で血流が脈打つのも、エンジンのバルブが開閉するたびに流れが変動するのも、すべて非定常現象。では定常解析とは？ 「十分時間が経って流れが落ち着いた後」だけを見る——つまりこの項をゼロにする。計算コストが大幅に下がるため、まず定常で解いてみるのがCFDの基本戦略です。
- 対流項 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：川に落ち葉を落としたらどうなりますか？ 流れに乗って下流に運ばれますよね。これが「対流」——流体の動きが物を運ぶ効果です。暖房の温風が部屋の端まで届くのも、空気という「運び屋」が熱を対流で輸送しているから。ここが面白いところ——この項は「速度×速度」を含むため非線形です。つまり、流れが速くなるとこの項が急激に強くなり、制御が難しくなる。これが乱流の根本原因です。よくある勘違い：「対流と伝導は同じようなもの」→ 全然違います！ 対流は流れが運ぶ、伝導は分子が伝える。桁違いの効率差があります。
- 拡散項 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：コーヒーにミルクを入れて放置したことはありますか？ かき混ぜなくても、しばらく経つと自然に混ざりますよね。あれが分子拡散です。では次の質問——ハチミツとお水、どちらが流しやすいですか？ 当然お水ですよね。ハチミツは粘性（$\mu$）が高いから流れにくい。粘性が大きいと拡散項が強くなり、流体は「もったりした」動きになります。レイノルズ数が小さい流れ（ゆっくり、ドロドロ）では拡散が支配的。逆にRe数が大きい流れでは対流が圧倒し、拡散は脇役になります。
- 圧力項 $-\nabla p$：注射器のピストンを押すと、液体が針先から勢いよく出ますよね？ なぜでしょう？ ピストン側が高圧、針先が低圧——この圧力差が流体を押す力になるからです。ダムの放水も同じ原理。天気図で等圧線がギュッと密になっている場所では？ そう、強風が吹きます。「圧力差があるところに流れが生まれる」——これがナビエ-ストークス方程式の圧力項の物理的意味。ここでの勘違いポイント：CFDの「圧力」は絶対圧ではなくゲージ圧のことが多い。圧縮性解析に切り替えたとたんに結果がおかしくなる場合、絶対圧/ゲージ圧の混同が原因かもしれません。
- ソース項 $S_\phi$：暖められた空気が上に昇る——なぜでしょう？ 周囲より軽く（密度が低く）なったから、浮力で押し上げられるのです。この浮力はソース項として方程式に追加されます。他にも、ガスコンロの炎で化学反応熱が発生する、工場の電磁ポンプで金属溶湯にローレンツ力がかかる…これらはすべて「外部から流体にエネルギーや力を注入する」作用であり、ソース項で表現します。ソース項を忘れるとどうなるか？ 自然対流の解析で浮力を入れ忘れると、流体は一切動かない——冬の部屋で暖房をつけたのに暖かい空気が上に行かない、という物理的にありえない結果になります。
仮定条件と適用限界
- 連続体仮定：クヌッセン数 Kn < 0.01（分子平均自由行程 ≪ 代表長さ）で成立
- ニュートン流体仮定：せん断応力と歪み速度が線形関係（非ニュートン流体では粘度モデルが必要）
- 非圧縮性仮定（Ma < 0.3の場合）：密度を一定として扱う。マッハ数0.3以上では圧縮性効果を考慮
- ブシネスク近似（自然対流）：密度変化を浮力項のみで考慮し、他の項では一定密度を使用
- 適用外ケース：希薄気体（Kn > 0.1）、超音速・極超音速流れ（衝撃波捕捉が必要）、自由表面流れ（VOF/Level Set等が必要）
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件で体積流量から換算する際、断面積の単位に注意 |
| 圧力 $p$ | Pa | ゲージ圧と絶対圧の区別。圧縮性解析では絶対圧を使用 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空気: 約1.225 kg/m³@20°C、水: 約998 kg/m³@20°C |
| 粘性係数 $\mu$ | Pa·s | 動粘性係数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] との混同に注意 |
| レイノルズ数 $Re$ | 無次元 | $Re = \rho u L / \mu$。層流/乱流遷移の判定指標 |
| CFL数 | 無次元 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。時間刻みの安定性に直結 |
数値例：円管内層流（d=10mm, L=1m, 水μ=0.001Pa·s, Q=0.1L/min）
Re = ρuD/μ = 998×0.021×0.01/0.001 ≈ 212（層流） 圧力損失 ΔP = 128μLQ/(πd⁴) ≈ 68.2 Pa
乱流モデル別の精度比較（後向きステップ、再付着長さ）：
k-ω SSTは精度とコストのバランスが良く、多くの実務で最初の選択肢になります。
CFDメッシュの品質管理や乱流モデルの選定に悩む時間を、もっと創造的な設計作業に使えたら。 — Project NovaSolverはそんな実務者の声から生まれました。
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