Smagorinskyモデル -- 数値解法と実装

各タイムステップ、各セルで以下を計算する。

1. フィルタ済み速度勾配 $\partial \bar{u}_i / \partial x_j$ を計算

2. 歪み速度テンソル $\bar{S}_{ij}$ を計算

3. $|\bar{S}| = \sqrt{2\bar{S}_{ij}\bar{S}_{ij}}$ を計算

4. フィルタ幅 $\Delta$ を計算（セル体積の立方根など）

5. SGS渦粘性 $\nu_{sgs} = (C_s \Delta)^2 |\bar{S}|$ を算出

6. 実効粘性 $\nu_{eff} = \nu + \nu_{sgs}$ として運動量方程式の拡散項に反映

SGSモデルの追加的な輸送方程式は一切不要なので、実装は非常にシンプルだ。

そうだ。代表的なフィルタ幅の定義は以下の通り。

アスペクト比の大きいセル（壁面近傍のプリズム層など）では、フィルタ幅の定義が結果に大きく影響するんだ。

constant/turbulencePropertiesに以下のように記述する。

```

simulationType LES;

LES

{

LESModel Smagorinsky;

turbulence on;

printCoeffs on;

delta cubeRootVol;

SmagorinskyCoeffs

{

Ck 0.094;

Ce 1.048;

}

}

```

OpenFOAMでは $C_s$ ではなく $C_k$ と $C_e$ で定義されていて、$C_s = C_k^{3/4}/\pi$ の関係があるよ。

Fluent ではViscous ModelダイアログでLESを選択し、SGSモデルとしてSmagorinsky-Lilly Modelを選ぶ。Smagorinsky定数はデフォルトで $C_s = 0.1$ が設定されていて、必要に応じて変更できる。壁面近傍のVan Driest減衰は自動的に適用されるから、特別な設定は不要だ。

Smagorinskyモデルは $\nu_{sgs} \geq 0$ が常に保証されるので、数値的には非常に安定だ。これは大きなメリットで、特に初心者がLESを始める際には安心して使える。ただし、逆に言うとエネルギーの逆カスケード（小スケールから大スケールへのエネルギー移動）を一切表現できないという物理的な制約でもある。

その通り。実務でSmagorinskyモデルを使うときは、$C_s$ の値を慎重に選び、壁面減衰を適切に設定すれば、多くの工業的な問題で十分な精度が得られるよ。