PISO法 — 数値実装とMERGED PISO-SIMPLE

OpenFOAMの文脈でよく出る表現だ。運動量方程式を離散化すると:

ここで $H(\mathbf{u}) = -\sum_N a_N \mathbf{u}_N + \mathbf{b}$ と定義する。すると:

この形にすると、速度を圧力勾配の関数として表せる。これを連続の式に代入することで圧力のポアソン方程式が得られるんだ。

nCorrectors はPISOの圧力補正ステップの回数だ。デフォルトは2だが、CFL数が大きい場合や精度を上げたい場合は3〜4にすることもある。

nNonOrthogonalCorrectors はメッシュの非直交性を補正するための追加反復だ。非直交メッシュでは圧力ラプラシアンに直交でない寄与が生じるため、これを反復的に修正する必要がある。

```

PISO

{

nCorrectors 2;

nNonOrthogonalCorrectors 1;

}

```

PIMPLE法はOpenFOAMで実装されたPISOとSIMPLEのハイブリッドだ。タイムステップ内で外部反復（SIMPLE的なループ）を行いつつ、最終的にPISO補正で仕上げる。

```

PIMPLE

{

nOuterCorrectors 2; // SIMPLE的な外部反復

nCorrectors 1; // PISO補正

nNonOrthogonalCorrectors 1;

}

```

PIMPLE法の利点はCFL数制限を大幅に緩和できることだ。nOuterCorrectorsを十分とれば、CFL >> 1 でも安定に計算できる。

ただしnOuterCorrectorsを増やすとタイムステップあたりのコストが増える。CFL < 1 なら純粋PISOs（nOuterCorrectors=1）のほうが効率的だよ。

PISO法と組み合わせる一般的な時間離散化を比較しよう。

LES計算では2次精度の backward か CrankNicolson を使うべきだ。RANS定常計算の擬似非定常（pseudo-transient）では Euler で十分。