層流管内流れ（Hagen-Poiseuille） — 数値解法と実装

主に2つの目的がある。

1. コード検証（Code Verification）: 理論解と比較して離散化誤差のオーダーを確認

2. 乱流遷移の研究: 層流解を基底状態として擾乱を加え、遷移過程を追跡

メッシュを3水準以上で系統的に細かくし、誤差の収束オーダーを確認する。

例として、20セル、40セル、80セルの径方向分割で計算し、誤差を両対数プロットする。2次精度スキームなら傾き $-2$、つまり $\epsilon \propto h^2$ で誤差が減少するはずだ。

その通り。これが Method of Manufactured Solutions (MMS) と並ぶ Code Verification の基本手法だ。

完全発達層流は軸対称だから、2D断面で計算できる。OpenFOAM では wedge メッシュ（5度のくさび型、前後面に wedge 条件）を使う。

ただし、助走区間を含む場合や乱流遷移を調べる場合はフル3D計算が必要だ。助走区間の流れは軸対称だが、遷移は3D的な擾乱で駆動される。

OpenFOAM での設定例だ。

```

boundary:

inlet: { type cyclic; neighbourPatch outlet; }

outlet: { type cyclic; neighbourPatch inlet; }

wall: { type wall; }

system/fvOptions:

momentumSource:

{

type meanVelocityForce;

selectionMode all;

fieldName U;

Ubar (1 0 0); // 目標平均速度

}

```

この設定では、入口と出口が周期的に接続され、圧力勾配が自動的に調整されて指定した平均速度 $\bar{U} = 1$ m/s が維持される。定常層流なら simpleFoam で数百反復で収束する。

Fluent でも periodic boundary が使える。Setup → Boundary Conditions で inlet/outlet を periodic pair として定義し、Mass Flow Specification で目標流量を指定する。あるいは、パイプ入口に一様流を与えて十分長いパイプ（$L > 0.06 Re \cdot D$）を計算する方法もある。後者のほうが助走区間の発達も同時に検証できる。