衝撃波管問題（Riemannソルバー） — 高次精度スキームと最新手法

圧縮性流れの高次精度スキームとして最も研究されているのがWENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）スキームだ。基本的な考え方は、複数のステンシル候補から非線形重みを使って最適な補間を選択するというもの。

WENO5（5次精度）の場合、3つの3点ステンシルの重み付き組み合わせで5次精度の精度を実現する。衝撃波近傍では振動しないステンシルに自動的に重みが集中し、滑らかな領域では全ステンシルが等しく寄与して高次精度が発揮される。

ここで $\omega_k$ は滑らかさ指標（smoothness indicator）$\beta_k$ に基づく非線形重みだ。

残念ながら主要な商用CFDソフト（Fluent、STAR-CCM+、CFX）にはWENOは標準搭載されていない。使えるのはオープンソースや研究コードだ。OpenFOAMにはblastFOAMプロジェクトでWENO実装がある。また、JAXAのFaSTARやDLRのTAUコードにも実装されているよ。

DG法はセル内を高次多項式で近似し、セル界面でRiemannソルバーを使ってフラックスを評価するという、有限要素法とGodunovスキームのハイブリッドだ。任意の高次精度を達成でき、非構造格子との相性も良い。

衝撃波管問題へのDG法の適用で注意すべきは、不連続近傍でのGibbs振動への対策だ。以下のアプローチが使われる。

• Slope limiter: TVBM limiterなど。低次に落ちるため精度が下がる
• Artificial viscosity: Persson-Peraire型の局所人工粘性。衝撃波検出センサーと併用
• Sub-cell shock capturing: DGセル内でFV的な衝撃波捕捉を行う

Fluentの最新版（2024R2以降）にPoly-Hexcore格子と組み合わせたDG法ベースのソルバーが試験的に導入されている。オープンソースではNektar++、Flexi、HOPRなどがDG法による圧縮性流れソルバーを提供しているよ。

たくさんあるよ。いくつか紹介しよう。

MHDでは磁場の影響で速い磁気音波、遅い磁気音波、アルヴェン波、接触不連続面の7つの特性速度があるからね。HLLDソルバーはこれを効率的に近似した手法で、宇宙物理の数値シミュレーションで広く使われている。