von Mises塑性理論 — 理論と支配方程式
von Mises塑性とは
先生、von Mises塑性理論はFEMの材料非線形の基本ですよね。
von Mises降伏条件は金属の塑性変形を記述する最も基本的な理論だ。「等価応力（von Mises応力）が降伏応力に達すると塑性変形が始まる」。
von Mises等価応力
または成分表示：
降伏条件
$f < 0$ なら弾性域。$f = 0$ で降伏面上（塑性変形）。$f > 0$ は許されない（降伏面の外には出ない）。
応力空間での「球面」が降伏面ですね。
偏差応力空間で見ると、von Mises降伏面は円筒だ。静水圧（体積応力）に依存しないのがvon Misesの特徴。金属の塑性変形は体積変化を伴わない（非圧縮塑性流れ）から、物理的に合理的。
硬化則
FEMでの設定
Abaqus
```
*MATERIAL, NAME=steel
*ELASTIC
200000., 0.3
*PLASTIC
250., 0.0 $ 降伏応力250 MPa, 塑性ひずみ0
400., 0.1 $ 400 MPa, 塑性ひずみ10%
500., 0.3 $ 500 MPa, 塑性ひずみ30%
```
Nastran
```
MAT1, 1, 200000., , 0.3
MATS1, 1, , PLASTIC, , , 1, 1
TABLES1, 1, , ,
, 0.0, 250., 0.1, 400., 0.3, 500., ENDT
```
応力-塑性ひずみのテーブルで硬化曲線を定義するんですね。
引張試験の公称応力-公称ひずみ曲線を真応力-真ひずみに変換してからFEMに入力。大変形解析では真応力-真ひずみが必須。
まとめ
要点：
- $\sigma_{vm} = \sigma_Y$ で降伏 — 金属の塑性の基本
- 静水圧に依存しない — 体積変化なし（金属の特徴）
- 硬化則 — 完全塑性/等方硬化/移動硬化/混合硬化
- 真応力-真ひずみでFEMに入力 — 公称値からの変換が必要
- 全FEMソルバーで標準 — 最も基本的な材料非線形モデル
タコマナローズ橋の崩壊（1940年）
完成からわずか4ヶ月で崩壊した吊り橋。風速わずか65km/hで起きた空力弾性フラッター（共振）が原因でした。この事故は「振動解析を怠るとどうなるか」の最も有名な教訓として、今でも構造力学の教科書に載っています。現代のCAEは、この種の問題を設計段階で発見できます。もし当時にCAEがあれば、橋は今も架かっていたかもしれません。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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CAEの未来を、実務者と共に考える
Project NovaSolverは、von Mises塑性理論における実務課題の本質に向き合い、エンジニアリングの現場を支える道具づくりを目指す研究開発プロジェクトです。
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