平面応力問題 — 理論と支配方程式

そう。3次元の弾性体を解くと自由度が膨大になる。しかし薄い板状の構造で面内荷重だけ受ける場合、板厚方向の応力成分がゼロと見なせる。これが平面応力の仮定だ。

板厚が面内寸法に比べて十分薄い構造だ。具体的には：

• 薄板に面内荷重（引張、圧縮、せん断）が作用する場合
• ブラケットや板金部品の解析
• ダムの水圧を受ける薄い壁

板厚方向に拘束がある場合だ。例えばダムの厚い壁や長いトンネルの断面。こういう場合は平面ひずみ（板厚方向のひずみがゼロ）の仮定を使う。平面応力と平面ひずみは似て非なるもので、混同すると大きな誤差になる。

2次元の力の平衡方程式：

適合条件（ひずみの適合性）：

平面応力のフックの法則（マトリクス形式）：

いい指摘だ。ただし平面応力では横方向（$z$ 方向）の変形は自由だ。$E/(1-\nu^2)$ が現れるのは、2成分の応力が連成するからで、3次元の $E$ とは意味が少し違う。

重要なポイント：平面応力では $\sigma_{zz} = 0$ だが、$\varepsilon_{zz} \neq 0$ だ：

板厚方向にひずみが生じる。板が面内に引張られると薄くなる — これがポアソン効果だ。

そう。$z$ 方向の変形が完全に拘束されるから、3次元的な拘束効果で剛性が上がる。この差は $\nu = 0.3$ で約10%。小さいように見えるが、応力の評価では無視できない差だ。

Airyの応力関数 $\phi(x,y)$ を使うと、平衡方程式と適合条件を1つの方程式にまとめられる：

このバイハーモニック方程式を解けば、応力成分は：

古典的な弾性論の問題（穴のある無限板、くさび、半平面の接触問題）はAiry関数で解ける。Kirsch問題（無限板の円孔周りの応力集中）も Airy関数の解だ。FEMの検証問題として非常に有用だよ。

要点：

• $\sigma_{zz} = 0$ の仮定 — 薄板の面内問題に適用
• 平面ひずみとの区別が重要 — 仮定を間違えると10%以上の誤差
• 構成則は $E/(1-\nu^2)$ を含む — 2次元連成効果
• $\varepsilon_{zz} \neq 0$ — 板厚方向のひずみは存在する
• Airy関数で古典問題が解ける — FEMの検証に有用

その通り。2次元要素は計算コストを劇的に削減できるが、仮定が成り立つ場面を正しく見極めることが前提だ。疑わしければ3次元で解いて2次元の結果と比較すればいい。