Tsai-Wu破壊基準 — 理論と支配方程式
Tsai-Wu基準とは
先生、Tsai-Wu破壊基準って何ですか？
Tsai-Wu基準（1971）は複合材の層ごとの破壊を予測する最も広く使われている基準の一つだ。金属のvon Mises基準に相当する。
von Misesは等方性材料用ですよね。複合材にvon Misesは使えない？
使えない。複合材は引張と圧縮で強度が異なり（$X_t \neq X_c$）、方向によっても強度が異なる（$X \neq Y$）。von Misesはこれらの非対称性を扱えない。
Tsai-Wu基準の式
2次元応力状態（平面応力）でのTsai-Wu基準：
ここで $\sigma_1$ は繊維方向応力、$\sigma_2$ は直交方向応力、$\tau_{12}$ は面内せん断応力。
各係数：
$X_t, X_c$ は繊維方向の引張/圧縮強度、$Y_t, Y_c$ は直交方向、$S$ はせん断強度ですね。
そう。5つの材料強度値から係数が決まる。問題は $F_{12}$（相互作用項）の値。これは二軸応力試験から求める必要があるが、実験が困難なため$F_{12} = -0.5\sqrt{F_{11}F_{22}}$（Tsaiの推奨値）が使われることが多い。
破壊指標（Failure Index）
破壊を判定するにはどうしますか？
Tsai-Wu指標 $FI$ を計算する：
- $FI < 1$: 破壊しない
- $FI = 1$: 破壊限界
- $FI > 1$: 破壊（応力を超過）
$FI$ が「安全率の逆数の二乗」に近い概念ですね。
厳密にはそうではない（2次式だから）が、直感的にはそう。$FI = 0.5$ なら「強度の約70%を使用」、$FI = 1.0$ で「破壊」。
Tsai-Wu基準の長所と短所
| 長所 | 短所 |
|---|---|
| 引張/圧縮の強度差を考慮 | 破壊モード（繊維/マトリクス）を区別しない |
| 多軸応力状態に対応 | $F_{12}$ の決定が困難 |
| 1つの式で破壊判定 | プログレッシブ損傷には不向き |
| 実装が容易 | 層間剥離は扱えない |
「破壊モードを区別しない」のが最大の弱点ですか？
そう。Tsai-Wu基準は「破壊した/しない」のみで、繊維破断なのかマトリクスクラックなのかを教えてくれない。プログレッシブ損傷解析（破壊後の荷重再配分）にはHashin基準やPuck基準が必要。
まとめ
Tsai-Wu基準を整理します。
要点：
- 複合材の最も広く使われる破壊基準 — 引張/圧縮の強度差を考慮
- 5つの材料強度値 + $F_{12}$ で定式化
- $FI \leq 1$ で安全 — 破壊指標が設計判定値
- 破壊モードは区別しない — 繊維/マトリクスの判別には Hashin を使う
- 材料座標系（1, 2方向）で評価 — グローバル座標の応力は使えない
金属の von Mises が等方性の標準なら、Tsai-Wu は複合材の標準ですね。
その通り。ただしTsai-Wuは「最初の破壊を予測する」基準であり、「構造が崩壊するかどうか」は別の問題だ。初期破壊後も荷重を担える複合材の特性を評価するには、プログレッシブ損傷解析が必要になる。
タコマナローズ橋の崩壊（1940年）
完成からわずか4ヶ月で崩壊した吊り橋。風速わずか65km/hで起きた空力弾性フラッター（共振）が原因でした。この事故は「振動解析を怠るとどうなるか」の最も有名な教訓として、今でも構造力学の教科書に載っています。現代のCAEは、この種の問題を設計段階で発見できます。もし当時にCAEがあれば、橋は今も架かっていたかもしれません。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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