渦度方程式 — 理論と支配方程式

渦度 $\boldsymbol{\omega}$ は流体の局所的な回転を表すベクトル量で、速度場の回転（curl）として定義される。

2次元の場合、$\omega = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$ というスカラーになる。流体の微小要素がどれだけ回転しているかを定量化するものだよ。

その通り。例えば直線的なせん断流 $u = ky$、$v = 0$ でも $\omega = -k \neq 0$ だから渦度がある。つまり渦度は「渦」の存在とは別の概念なんだ。

Navier-Stokes方程式の両辺に $\nabla \times$ を作用させると渦度方程式が得られる。非圧縮性流体の場合こうなる。

左辺は渦度の物質微分（ラグランジュ微分）で、流体粒子に乗って見た渦度の変化率だ。

第1項 $(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ は渦管の伸長・傾斜項（vortex stretching）だ。3次元流れで渦管が引き伸ばされると断面が細くなり、角運動量保存から渦度が増大する。竜巻やバスタブの排水渦が細くなると回転が速くなるのはこの効果だよ。

第2項 $\nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}$ は粘性拡散項で、渦度が分子粘性により拡散する効果を表す。動粘性係数 $\nu$ が大きいほど渦度は速やかに拡散して消散する。

よく気づいたね。2次元では $\boldsymbol{\omega}$ は $z$ 方向のみで $(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla)\mathbf{u} = 0$ になるから、渦度方程式は単純な移流拡散方程式になる。

これは渦度の生成が境界面でしか起こらないことを意味するんだ。

非圧縮・バロトロピック流体では、渦度は流体内部では生成されない。渦度の主な発生源は以下だ。

• 固体壁面: 滑りなし条件により壁面で速度勾配が生じ、渦度が発生する。Lighthill（1963）が示した壁面渦度フラックスは $\nu \frac{\partial \omega}{\partial n}\big|_{wall}$ で表される
• バロクリニック効果: 密度勾配と圧力勾配が平行でないとき、$\frac{1}{\rho^2}(\nabla \rho \times \nabla p)$ の項から渦度が生成される。海洋の熱塩循環がその好例
• 体積力の非一様分布: 回転座標系でのコリオリ力など

壁面近傍のメッシュ解像度が決定的に重要だ。壁面第一セルの $y^+$ を1以下にするか、壁関数を使って壁面せん断応力から渦度フラックスを近似するかの選択になる。

非粘性のバロトロピック流体でポテンシャルな体積力のみが作用する場合、閉曲線に沿った循環 $\Gamma = \oint \mathbf{u} \cdot d\mathbf{l}$ は保存される。Stokesの定理により $\Gamma = \int_S \boldsymbol{\omega} \cdot d\mathbf{S}$ なので、これは渦度方程式で粘性項とバロクリニック項がゼロのときに対応する。

その理解で正しい。渦度方程式は粘性・非バロトロピック効果を全て含んだ、より一般的な記述なんだ。