流れ関数 — 実践ガイドとベストプラクティス

その通り。Ansys FluentやSTAR-CCM+は原始変数法（SIMPLE系）でN-S方程式を解く。しかし後処理で流れ関数を計算して流れの構造を分析するのは非常に有効だ。

• Ansys Fluent: Custom Field Function で $\psi$ を定義できないが、Streamlines（流線）の可視化は標準機能。Pathlines やParticle Tracks で流体粒子の軌跡を追跡可能
• STAR-CCM+: Stream Function をDerived Part として計算可能。2D解析では直接的に流れ関数等値線をプロットできる
• OpenFOAM: postProcess -func streamFunction で $\psi$ フィールドを出力可能（2D問題のみ）

ParaViewのStream Tracerフィルターで流線を可視化できる。Seed Points の配置が重要で、関心領域を横切るように直線上に等間隔で配置するのが基本だ。渦の中心を通るように配置すれば閉じた流線が得られる。

代表的なベンチマークを紹介しよう。

そうだね。Re=100から始めて、格子を $32^2$、$64^2$、$128^2$ と細かくしてメッシュ収束性を確認する。Ghiaの参照データとキャビティ中心線上の速度プロファイルを比較するのが定番だ。

2次元問題でのメッシュ設計指針をまとめよう。

• 壁面近傍: 境界層厚さ $\delta \sim L/\sqrt{Re}$ に最低10セル配置。幾何級数的に壁から離れる方向に膨張させる
• 剥離・再付着領域: 流れ方向にも十分な解像度が必要。セルアスペクト比は5以下
• 渦構造: 渦核の直径に10セル以上。渦が移動する領域全体で均一な解像度を確保
• 遠方境界: 流入・流出境界は関心領域から十分離す。閉空間問題なら不要

流れ関数法は有限差分法と組み合わせることが多く、その場合は直交構造格子が自然だ。曲線境界には体に合った座標変換（body-fitted coordinate）を適用する。有限要素法で流れ関数を解く場合は三角形非構造格子も使えるが、精度は六面体構造格子に劣る傾向がある。

以下のチェックリストを推奨する。

1. 質量保存: 流れ関数法では構造的に保証されるが、数値誤差の影響を確認。流入流量 = 流出流量を検証

2. メッシュ収束性: 3水準以上のメッシュでRichardson外挿。理論上の収束次数（2次精度なら $O(h^2)$）と一致するか確認

3. 参照データとの比較: Ghia et al. のようなベンチマークデータとの定量比較

4. 対称性の確認: 対称な問題設定で解が対称になるか

5. エネルギー収支: Taylor-Green渦などで運動エネルギーの時間変化が解析解と一致するか

格子間隔 $h_1 = h$, $h_2 = 2h$, $h_3 = 4h$ の3水準で計算し、解 $f_1, f_2, f_3$ から収束次数 $p = \ln\frac{f_3 - f_2}{f_2 - f_1}/\ln 2$ を求める。外挿値は $f_{exact} \approx f_1 + \frac{f_1 - f_2}{2^p - 1}$ だ。GCI（Grid Convergence Index）を用いれば不確かさの定量化もできるよ。