ナビエ・ストークス方程式 — CAE用語解説
Navier-Stokes方程式
定義
Navier-Stokes方程式は、粘性流体の運動を記述する基本方程式。連続の式（質量保存）、運動量方程式、エネルギー方程式から構成される。
圧縮性Navier-Stokes方程式
質量保存:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$
運動量保存:
$$ \frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{g} $$
粘性応力テンソル（ニュートン流体）:
$$ \tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3}\mu \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \delta_{ij} $$
エネルギー保存:
$$ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \nabla \cdot [(\rho E + p)\mathbf{u}] = \nabla \cdot (k \nabla T) + \nabla \cdot (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{u}) $$
解の存在と一意性（ミレニアム懸賞問題）
3次元非圧縮性Navier-Stokes方程式の滑らかな解の存在と一意性は未解決のミレニアム懸賞問題の一つ。
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