FDM — CAE用語解説
FDM（有限差分法 / Finite Difference Method）
定義
有限差分法は、偏微分方程式の微分項をTaylor展開に基づく差分近似で置き換える最も古典的な離散化手法。構造格子上での実装が容易で、高精度スキームの構築も比較的簡単。
差分近似（1次元の例）
前進差分:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x} + O(\Delta x) $$
中心差分:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x} + O(\Delta x^2) $$
2階微分の中心差分:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2) $$
時間積分
- 陽的Euler法: $u^{n+1} = u^n + \Delta t \cdot f(u^n)$（CFL条件による時間刻み制約）
- 陰的Euler法: 無条件安定だが連立方程式の求解が必要
- Crank-Nicolson法: 2次精度の陰的手法
適用分野
- FDTD法（時間領域有限差分法）: 電磁波解析（Maxwell方程式）
- 差分法ベースのCFD: 圧縮性流れの高精度解法
- 地震波伝播シミュレーション
Project NovaSolver — Practitioner-Driven R&D
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